Олимпиадная задача по планиметрии 8-9 класс: треугольник ABC, доказательство

Олимпиадная задача по планиметрии 8-9 класс: треугольник и точка пересечения высот

Задача

Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. H – точка пересечения высот. На сторонах AB и BC выбраны точки M и K и соответственно так, что ∠KMH = 90°. Докажите, что из отрезков AK, CM и MK можно сложить прямоугольный треугольник.

Решение

Первый способ. Заметим, что достаточно доказать равенство MK² = AK² – CM² (см. рис.). Учитывая условие MK² = KH² – MH², докажем, что KH² – MH² = AK² – CM². Но последнее равенство равносильно равенству CM² – MH² = AK² – KH². Используя, что разность квадратов наклонных равна разности квадратов их проекций, получим, что CM² – MH² = CN² – HN², а AK² – KH² = AL² – HL², где N и L – основания высот проведенных из точек C и A соответственно. Так как треугольник ABC – равнобедренный, то AL = CN и HL = HN, откуда следует искомое равенство.