Олимпиадные задачи по математике для 7-10 класса

Марсиане делят сутки на 13 часов. После того, как <i>Марсовский Заяц</i> уронил часы в чай, у них изменилась скорость вращения секундной стрелки, а скорость вращения других стрелок осталась прежней. Известно, что каждую полночь все три стрелки совпадают. Сколько всего за сутки может быть таких моментов времени, когда три стрелки совпадут? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116973/problem_116973_img_2.gif"></div>

Точку внутри треугольника назовём <i>хорошей</i>, если длины проходящих через неё чевиан обратно пропорциональны длинам соответствующих сторон. Найдите все треугольники, для которых число хороших точек – максимально возможное.

Через вершины <i>A, B, C</i> треугольника <i>ABC</i> проведены три параллельные прямые, пересекающие вторично его описанную окружность в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ соответственно. Точки <i>A</i>₂, <i>B</i>₂, <i>C</i>₂ симметричны точкам <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ относительно сторон <i>BC, CA, AB</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>AA</i>₂, <i>BB</i>₂,...

Квадрат разрезан на несколько (больше одного) выпуклых многоугольников с попарно различным числом сторон.

Докажите, что среди них есть треугольник.

Внутри окружности с центром <i>O</i> отмечены точки <i>A</i> и <i>B</i> так, что  <i>OA = OB</i>.

Постройте на окружности точку <i>M</i>, для которой сумма расстояний до точек <i>A</i> и <i>B</i> наименьшая среди всех возможных.

Восстановите треугольник с помощью циркуля и линейки по точке пересечения высот и основаниям медианы и биссектрисы, проведённых к одной из сторон.

Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Для произвольной прямой <i>l</i> обозначим через <i>l_a</i>, <i>l_b</i>, <i>l_c</i> прямые, симметричные <i>l</i> относительно сторон треугольника, а через <i>I_l</i> – центр вписанной окружности треугольника, образованного этими прямыми. Найдите геометрическое место точек <i>I_l</i>.

Дан треугольник <i>ABC</i>. Прямая <i>l</i> касается вписанной в него окружности. Обозначим через <i>l_a, l_b, l_c</i> прямые, симметричные <i>l</i> относительно биссектрис внешних углов треугольника. Докажите, что треугольник, образованный этими прямыми, равен треугольнику <i>ABC</i>.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> описан около окружности с центром <i>I</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> – середины сторон <i>AB</i> и <i>CD</i>. Известно, что  <i>IM</i> : <i>AB = IN</i> : <i>CD</i>.

Докажите, что <i>ABCD</i> – трапеция или параллелограмм.

Два муравья проползли каждый по своему замкнутому маршруту на доске 7×7. Каждый полз только по сторонам клеток доски и побывал в каждой из 64 вершин клеток ровно один раз. Каково наименьшее возможное число таких сторон, по которым проползали и первый, и второй муравьи?

В треугольнике <i>ABC</i> проведены биссектрисы <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁. Известно, что центр описанной окружности треугольника <i>BB</i>₁<i>C</i>₁ лежит на прямой <i>AC</i>. Найдите угол <i>C</i> треугольника.

Даны треугольник <i>ABC</i> и произвольная точка <i>P, A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁  – вторые точки пересечения прямых <i>AP, BP</i> и <i>CP</i> с описанной окружностью треугольника <i>ABC, A</i>₂, <i>B</i>₂ и <i>C</i>₂ – точки, симметричные <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ относительно прямых <i>BC</i>, <i>CA</i> и <i>AB</i> соответственно. Докажите, что треугольники <i>A</i><sub>1</sub...

Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность, центр <i>O</i> которой лежит внутри него. Kасательные к окружности в точках <i>A</i> и <i>C</i> и прямая, симметричная <i>BD</i> относительно точки <i>O</i>, пересекаются в одной точке. Докажите, что произведения расстояний от <i>O</i> до противоположных сторон четырёхугольника равны.

B остроугольном треугольнике ровно один из углов равен 60°. Докажите, что прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку пересечения медиан треугольника, отсекает от него равносторонний треугольник.

Hа сторонах треугольника <i>ABC</i> во внешнюю сторону построены правильные треугольники <i>ABC</i>₁, <i>BCA</i>₁, <i>CAB</i>₁. Hа отрезке <i>A</i>₁<i>B</i>₁ во внешнюю сторону треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ построен правильный треугольник <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₂. Докажите, что <i>C</i> – середина отрезка <i>C</i>₁<i>C</i><...

Диагонали вписанного четырехугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>K</i>.

Докажите, что касательная в точке <i>K</i> к описанной окружности треугольника <i>ABK</i>, параллельна <i>CD</i>.

Hа окружности с диаметром <i>AB</i> выбраны точки <i>C</i> и <i>D</i>. <i>XY</i> – диаметр, проходящий через середину <i>K</i> хорды <i>CD</i>. Tочка <i>M</i> – проекция точки <i>X</i> на прямую <i>AC</i>, а точка <i>N</i> – проекция точки <i>Y</i> на прямую <i>BD</i>. Докажите, что точки <i>M, N</i> и <i>K</i> лежат на одной прямой.

Пусть <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ – середины сторон треугольника <i>ABC, I</i> – центр вписанной в него окружности, <i>C</i>₂ – точка пересечения прямых <i>C</i>₁<i>I</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁, <i>C</i>₃ – точка пересечения прямых <i>CC</i>₂ и <i>AB</i>. Докажите, что прямая <i>IC</i>₃ перпендикулярна прямой <i>AB</i>.

В окружность вписан треугольник <i>ABC</i>. Постройте такую точку <i>P</i>, что точки пересечения прямых <i>AP, BP</i> и <i>CP</i> с данной окружностью являются вершинами равностороннего треугольника.

В треугольнике <i>ABC</i> <i>M</i> – точка пересечения медиан, <i>O</i> – центр вписанной окружности, <i>A'</i>, <i>B'</i>, <i>C'</i> – точки ее касания со сторонами <i>BC</i>, <i>CA</i>, <i>AB</i> соответственно. Докажите, что, если <i>CA' </i>= <i>AB</i>, то прямые <i>OM</i> и <i>AB</i> перпендикулярны.

Дана окружность и точка <i>P</i> внутри неё. Два произвольных перпендикулярных луча с началом в точке <i>P</i> пересекают окружность в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Tочка <i>X</i> является проекцией точки <i>P</i> на прямую <i>AB</i>, <i>Y</i> – точка пересечения касательных к окружности, проведённых через точки <i>A</i> и <i>B</i>. Докажите, что все прямые <i>XY</i> проходят через одну и ту же точку.

B основании четырёхугольной пирамиды <i>SABCD</i> лежит четырёхугольник <i>ABCD</i>, диагонали которого перпендикулярны и пересекаются в точке <i>P</i>, и <i>SP</i> является высотой пирамиды. Докажите, что проекции точки <i>P</i> на боковые грани пирамиды лежат на одной окружности.

Bнутри окружности зафиксирована точка <i>P</i>. <i>C</i> — произвольная точка окружности, <i>AB</i> – хорда, проходящая через точку <i>P</i> и перпендикулярная отрезку <i>PC</i>. Tочки <i>X</i> и <i>Y</i> являются проекциями точки <i>P</i> на прямые <i>AC</i> и <i>BC</i>. Докажите, что все отрезки <i>XY</i> касаются одной и той же окружности.

Дан треугольник <i>ABC</i>. Tочки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ симметричны его вершинам относительно противоположных сторон. <i>C</i>₂ – точка пересечения прямых <i>AB</i>₁ и <i>BA</i>₁, точки <i>A</i>₂ и <i>B</i>₂ определяются аналогично. Докажите, что прямые <i>A</i>₁<i>A</i>₂, <i>B</i>₁<i>B</i>₂ и <i>C</i>₁<i>C</i&...

Дан треугольник <i>ABC</i> и точки <i>P</i> и <i>Q</i>. Известно, что треугольники, образованные проекциями <i>P</i> и <i>Q</i> на стороны <i>ABC</i>, подобны (соответствуют друг другу вершины, лежащие на одних и тех же сторонах исходного треугольника). Докажите, что прямая <i>PQ</i> проходит через центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.