Олимпиадная задача по планиметрии для 9-11 классов: свойства выпуклого многоугольника

Пусть O – центр поворота, R – наибольшее из расстояний от точки O до вершин многоугольника, A₁ – одна из вершин, такая, что OA₁=R . Если A₁ переходит при повороте в вершину A₂ , A₂ – в A₃ , A₃ – в A₄ , то, очевидно, A₁A₂A₃A₄ – квадрат с центром в точке O ; этот квадрат, очекидно, лежит в M . Отношение радиусов его вписанного и описанного кругов равно , при этом первый лежит в M , а второй содержит M по определению R , что и требовалось. Справедливо следующее утверждение: если выпуклый многоугольник M переходит в себя при повороте на угол α ( α<180^o ), то найдутся два круга с отношением радиусов, равным 2, один из которых содержит M , а другой содержится в M . Попробуйте доказать его самостоятельно.

Ответ задачи отсутствует