Олимпиадные задачи по математике - сложность 1-4 с решениями
Найдите все такие натуральные <i>k</i>, что при каждом нечётном <i>n</i> > 100 число 20<sup><i>n</i></sup> + 13<sup><i>n</i></sup> делится на <i>k</i>.
Даны многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) и такие числа <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, <i>b</i><sub>1</sub>, <i>b</i><sub>2</sub>, <i>b</i><sub>3</sub>, что <i>a</i><sub>1</sub><i>a</i><sub>2</sub><i>a</i><sub>3</sub> ≠ 0. Оказалось, что <i>P</i>(<i>a</i><sub>1</sub><i>x + b</i><sub>1</sub>) + <i>P</i>(<i>a</i><sub>2</sub><i>x + b</i><sub>2</sub>) = <i>P</i>(<i>a</i><sub>3<...
Для натурального <i>a</i> обозначим через <i>P</i>(<i>a</i>) наибольший простой делитель числа <i>a</i>² + 1.
Докажите, что существует бесконечно много таких троек различных натуральных чисел <i>a, b, c</i>, что <i>P</i>(<i>a</i>) = <i>P</i>(<i>b</i>) = <i>P</i>(<i>c</i>).
Натуральные числа <i>d</i> и <i>d' > d</i> – делители натурального числа <i>n</i>. Докажите, что <i>d' > d</i> + <sup><i>d</i>²</sup>/<sub><i>n</i></sub>.
Даны десять положительных чисел, каждые два из которых различны. Докажите, что среди них найдутся либо три числа, произведение которых больше произведения каких-нибудь двух из оставшихся, либо три числа, произведение которых больше произведения каких-нибудь четырёх из оставшихся.
Целые числа <i>a</i> и <i>b</i> таковы, что при любых натуральных <i>m</i> и <i>n</i> число <i>am</i>² + <i>bn</i>² является точным квадратом. Докажите, что <i>ab</i> = 0.
Дано натуральное <i>n</i> > 1. Число <i>a > n</i>² таково, что среди чисел <i>a</i> + 1, <i>a</i> + 2, ..., <i>a + n</i> есть кратные каждого из чисел <i>n</i>² + 1, <i>n</i>² + 2, ..., <i>n</i>² + <i>n</i>.
Докажите, что <i>a > n</i><sup>4</sup> – <i>n</i>³.
В бесконечной возрастающей последовательности натуральных чисел каждое делится хотя бы на одно из чисел 1005 и 1006, но ни одно не делится на 97. Кроме того, каждые два соседних числа отличаются не более чем на <i>k</i>. При каком наименьшем <i>k</i> такое возможно?
Последовательность<i> a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,.. </i>такова, что<i> a<sub>1</sub><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115397/problem_115397_img_2.gif"></i>(1<i>,</i>2)и<i> a<sub>k+</sub></i>1<i>=a<sub>k</sub>+<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115397/problem_115397_img_3.gif"> </i>при любом натуральном <i> k </i>. Докажите, что в ней не может существовать более одной пары членов с целой суммой.
Дима посчитал факториалы всех натуральных чисел от80 до 99, нашел числа, обратные к ним, и напечатал получившиеся десятичные дроби на 20 бесконечных ленточках (например, на последней ленточке было напечатано число<i> <img align="abscenter" src="/storage/problem-media/111849/2.gif">=</i>0<i>, <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111849/3.gif"></i>10715<i>.. </i>). Саша хочет вырезать из одной ленточки кусок, на котором записано<i> N </i>цифр подряд и нет запятой. При каком наибольшем<i> N </i>он сможет это сделать так, чтобы Дима не смог определить по этому куску, какую ленточку испортил Саша?
В бесконечной последовательности (<i>x<sub>n</sub></i>) первый член <i>x</i><sub>1</sub> – рациональное число, большее 1, и <i>x</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <i>x<sub>n</sub></i> + <sup>1</sup>/<sub>[<i>x<sub>n</sub></i>]</sub> при всех натуральных <i>n</i>.
Докажите, что в этой последовательности есть целое число.
Каких точных квадратов, не превосходящих 10<sup>20</sup>, больше: тех, у которых семнадцатая с конца цифра – 7, или тех, у которых семнадцатая с конца цифра – 8?
Докажите, что для любого многочлена <i>P</i> с целыми коэффициентами и любого натурального <i>k</i> существует такое натуральное <i>n</i>, что <i>P</i>(1) + <i>P</i>(2) + ... + <i>P</i>(<i>n</i>) делится на <i>k</i>.
Числа от 1 до 10 разбили на две группы так, что произведение чисел в первой группе нацело делится на произведение чисел во второй.
Какое наименьшее значение может быть у частного от деления первого произведения на второе?
Функции <i>f</i>(<i>x</i>) – <i>x</i> и <i>f</i>(<i>x</i>²) – <i>x</i><sup>6</sup> определены при всех положительных <i>x</i> и возрастают.
Докажите, что функция <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110122/problem_110122_img_2.gif"> также возрастает при всех положительных <i>x</i>.
Саша написал на доске ненулевую цифру и приписывает к ней справа по одной ненулевой цифре, пока не выпишет миллион цифр. Докажите, что на доске не более 100 раз был написан точный квадрат.
Дана последовательность<i> {x<sub>k</sub>} </i>такая, что<i> x<sub>1</sub>=</i>1,<i> x<sub>n+</sub></i>1<i>=n sin x<sub>n</sub>+</i>1. Докажите, что последовательность непериодична.
Для некоторого многочлена существует бесконечное множество его значений, каждое из которых многочлен принимает по крайней мере в двух целочисленных точках. Докажите, что существует не более одного значения, которое многочлен принимает ровно в одной целой точке.
Клетки квадрата50×50раскрашены в четыре цвета. Докажите, что существует клетка, с четырех сторон от которой (т.е. сверху, снизу, слева и справа) имеются клетки одного с ней цвета (не обязательно соседние с этой клеткой).
О функции<i> f</i>(<i>x</i>), заданной на всей действительной прямой, известно, что при любом<i> a></i>1функция<i> f</i>(<i>x</i>)<i>+f</i>(<i>ax</i>)непрерывна на всей прямой. Докажите, что<i> f</i>(<i>x</i>)также непрерывна на всей прямой.
Последовательности положительных чисел (<i>x<sub>n</sub></i>) и (<i>y<sub>n</sub></i>) удовлетворяют условиям <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109842/problem_109842_img_2.gif"> при всех натуральных <i>n</i>. Докажите, что если все числа <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, <i>y</i><sub>1</sub>, <i>y</i><sub>2</sub> больше 1, то <i>x<sub>n</sub> > y<sub>n</sub></i> при каком-нибудь натуральном <i>n</i>.
Сумма и произведение двух чисто периодических десятичных дробей – чисто периодические дроби с периодом <i>T</i>.
Докажите, что исходные дроби имеют периоды не больше <i>T</i>.
Пусть<i> α </i>,<i> β </i>,<i> γ </i>,<i> τ </i>– такие положительные числа, что при всех<i> x </i> <center><i>
sinα x+ sinβ x= sinγ x+ sinτ x.
</i></center> Докажите, что<i> α=γ </i>или<i> α=τ </i>.
Многочлены <i>P, Q</i> и <i>R</i> с действительными коэффициентами, среди которых есть многочлен второй степени и многочлен третьей степени, удовлетворяют равенству <i>P</i>² + <i>Q</i>² = <i>R</i>². Докажите, что все корни одного из многочленов третьей степени – действительные.
Таня задумала натуральное число <i>X</i> ≤ 100, а Саша пытается его угадать. Он выбирает пару натуральных чисел <i>M</i> и <i>N</i>, меньших 100, и задаёт вопрос: "Чему равен наибольший общий делитель <i>X + M</i> и <i>N</i>?" Докажите, что Саша может угадать Танино число, задав семь таких вопросов.