Олимпиадная задача по многочленам: единственность значения в целой точке для 10-11 классов

  Из условия следует, что наш многочлен P(x) имеет ненулевую степень. Можно считать старший коэффициент P положительным (иначе сменим знак многочлена). Если P имеет нечётную степень, то при всех достаточно больших по модулю x он возрастает, и, следовательно, только конечное число значений может принимать более чем в одной целой точке. Поэтому степень P чётна.

  Значит, при больших положительных x многочлен возрастает, а при больших по модулю отрицательных x – убывает, и, следовательно, все достаточно большие значения, которые он принимает более чем в одной целой точке, он принимает ровно дважды. Упорядочим эти значения:  a₁ < a₂ < ...  и обозначим x_k – больший, а y_k – меньший прообраз a_k. Таким образом,  P(x_k) = P(y_k) = a_k.

  Рассмотрим два старших коэффициента P:  P(x) = axⁿ + bx^n–1 + ... .  Тогда

P(c – x) = a(c – x)ⁿ + b(c – x)^n–1 + ... = axⁿ – ancx^n–1 – bx^n–1 + ... = axⁿ + (– anc – b)x^n–1 + ... .  Заметим, что коэффициенты при xⁿ у многочленов P(x) и

P(c – x)  совпадают; а для коэффициентов при x^n–1 существует единственное значение c:  c₀ = – ^2b/_an,  при котором они совпадают.

  Если  c > c₀,  то  P(x) – P(c – x)  – многочлен степени  n – 1  с положительным старшим коэффициентом, следовательно, при достаточно больших x его значения положительны. Поэтому при достаточно больших k  x_k + y_k < c₀ + 0,1  (иначе  P(x_k) > P(c₀ + 0,1 – x_k) > P(y_k)).

  Если, наоборот,  c < c₀,  то  P(x) – P(c – x)  – многочлен степени  n – 1  с отрицательным старшим коэффициентом, значения которого при достаточно больших x отрицательны. Поэтому при достаточно больших k  x_k + y_k > c₀ – 0,1.  Но  x_k + y_k  – целые числа, поэтому, начиная с некоторого k, все они равны:  x_k + y_k = c,  где c – целое.

  Но тогда многочлены P(x) и  P(c – x)  совпадают почленно (если не все их коэффициенты совпадают, то при больших x знак  P(x) – P(c – x)  совпадает со знаком первого ненулевого коэффициента этой разности; с другой стороны, среди x_k есть сколь угодно большие числа, и для них  P(c – x_k) = P(y_k) = P(x_k)).

  Итак,  P(x) = P(c – x)  при всех действительных x (то есть график  y = P(x)  имеет вертикальную ось симметрии  x = ^c/₂).  Поэтому единственное значение, которое может приниматься ровно в одной целой точке, – это  P(^c/₂),  да и то, если только  ^c/₂  – целое.

Ответ задачи отсутствует