Олимпиадная задача по математике: Саша вырезает цифры из факториалов (9 класс, уровень 4)

N=155. Пусть на ленточках, на которых записаны числа1/k! и1/l! ( k<l ), нашлось по одинаковому куску из N подряд стоящих цифр. Домножим числа1/k! и1/l! на степени 10 так, чтобы одинаковые куски оказались сразу после десятичной запятой. Дробные части получившихся дробей10^a/k! и10^b/l! не могут совпадать. Действительно, в противном случае число10^a/k!-10^b/l!=10^a/((k+1)(k+2).. l)-10^b/ l! целое; следовательно, числитель последней дроби делится на l . Тогда на l делится и число10^b . С другой стороны, ни одно число от 81 до 99 не является делителем числа вида10^b , так как каждое из этих чисел содержит в своем разложении на множители хотя бы одно простое число, отличное от 2 и 5. Рассматриваемые нами дробные части({10^a/k!)} и({10^b/l!)} могут быть записаны как обыкновенные дроби со знаменателями k! и l! , а потому– и как дроби со знаменателем99! , который делится на все числа80!, 81!, .., 99! ; следовательно, их разность есть разность двух неравных дробей со знаменателем99! , и она не меньше1/99! . С другой стороны, две правильные десятичные дроби, у которых совпадают первые N цифр после запятой, отличаются меньше, чем на1/10^N . Таким образом,1/99!<1/10^N . Из условия следует, что > , поэтому N<156. Таким образом, куска из 156 знаков всегда достаточно для того, чтобы определить, из какой полоски он вырезан. С другой стороны, на полосках с числами1/98! и1/99! есть одинаковые куски по 155 знаков:1/99!=0,10715.. , а1/98!=99/99!=100/99!-199!= 0,10715..- 0,00107..= 0,106.. , то есть на обеих полосках есть кусок10.

Ответ задачи отсутствует