Олимпиадная задача по последовательностям и тригонометрии: доказательство непериодичности
Задача
Дана последовательность {xk} такая, что x1=1, xn+1=n sin xn+1. Докажите, что последовательность непериодична.
Решение
Предположим, что она периодична и длина периода равна T , тогда xm+T=xm и xm+T+1=xm+1при m
m0.
Если при некотором m m0 sin xm
0, то xm+T+1=(m+T) sin xm+T+1=(m+T) sin xm+1 m sin xm+1=xm+1.
А если sin xm=0, то xm+1=1, и sin xm+1= sin 1 0, так
что предыдущее рассуждение применимо к xm+1. Таким образом, получаем
противоречие.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет