Наименьшее k для последовательности: олимпиадная задача по делимости и последовательностям
Задача
В бесконечной возрастающей последовательности натуральных чисел каждое делится хотя бы на одно из чисел 1005 и 1006, но ни одно не делится на 97. Кроме того, каждые два соседних числа отличаются не более чем на k. При каком наименьшем k такое возможно?
Решение
Обозначим нашу последовательность (an). Ясно, что a1 < 1005·1006·97N = D при некотором натуральном N. Тогда найдётся такое n, что an ≤ D, но an+1 > D (при этом an ≠ D по условию). Но наибольшими числами, меньшими D и кратными 1005 и 1006, являются числа D – 1005 и D – 1006, соответственно; поэтому an ≤ D – 1005. Аналогично an+1 ≥ D + 1005; отсюда an+1 – an ≥ (D + 1005) – (D – 1005) = 2010. Значит, и k ≥ 2010.
При k = 2010 подходит, например, последовательность всех чисел, кратных 1005, но не кратных 97 (заметим, что 1005 не кратно 97).
Ответ
k = 2010.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь