Олимпиадная задача: количество квадратов в длинной последовательности цифр — 9-11 классы

Рассмотрим отдельно числа из нечетного и из четного числа знаков. Пусть x₁², x₂², .. – встретившиеся на доске квадраты из четного количества знаков, и в их записи содержится соответственно2n₁, 2n₂, .. (n₁<n₂<..)цифр. Аналогично, пусть y₁², y₂², .. – встретившиеся на доске квадраты из нечетного количества знаков, и в их записи содержится соответственно2m₁-1, 2m₂-1, .. (m₁<m₂<..)цифр.

Число x_k2содержит n_k цифр и не оканчивается на 0, поэтому x_k²> 102n_k-1, откуда x_k>10^n_k-1. Число x_k+1² получается из x_k приписыванием некоторого четного количества – обозначим его2a – ненулевых цифр.

Поэтому102ax_k²<x_k+1²<102ax_k²+102a . Из левого неравенства получаем10^a x_k+1 x_k+1, следовательно,102ax_k²+2· 10^a x_k+1 x_k+12<102ax_k²+102a , откуда2·10^ax_k+1<102a , т.е. x_k<10^a .

Из этого неравенства следует, что x_k содержит не более a цифр, т.е. n_k a , тогда из неравенства10^ax_k+1 x_k+1следует a+n_k n_k+1, откуда2n_k n_k+1.

Аналогичное рассуждение применимо к последовательности {y_k} : y_k+1² получается приписыванием к y_k² 2a цифр, y_k<10^a , и a m_k , т.е. m_k+1 2m_k . Теперь заметим, что в каждой из последовательностей m_k и n_k меньше 50 членов (так как m₁, n₁ 1и m50и n50должны быть не меньше, чем250>1000000).

Итак, всего квадратов на доске окажется не более 100.

Ответ задачи отсутствует