Олимпиадная задача по теории чисел и неравенствам для 8–10 классов от Голованова А. С.

Пусть кратное числу  n² + i,  содержащееся среди наших чисел, – это  a_i(n² + i).  Ясно, что  a₁ > 1.  Тогда найдётся такое   i ≤ n – 1,  что  a_i > a_i+1  (в противном случае  a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a_n,  и  a_n(n² + n) – a₁(n² + 1) ≥ a₁(n – 1) > n –1,  что невозможно). Значит,

n – 1 ≥ a_i(n² + i) – a_i+1(n² + i + 1) ≥ a_i(n² + i) – (a_i – 1)(n² + i + 1) = n² + i + 1 – a_i,  то есть  a_i ≥ n² – n + i + 2 > n² – n.  Так как одно из наших чисел есть a_i(n² + i) > (n² – n)(n² + 1) = n⁴ – n³ + n² – n,  то  a ≥ a_i(n² + i) – n > n⁴ – n³ + n² – 2n ≥ n⁴ – n³,  так как  n ≥ 2.

Ответ задачи отсутствует