Олимпиадные задачи по математике для 5-11 класса - сложность 3 с решениями

Найдите все такие натуральные <i>k</i>, что при каждом нечётном  <i>n</i> > 100  число  20^<i>n</i> + 13^<i>n</i>  делится на <i>k</i>.

Даны многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) и такие числа  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, <i>b</i>₁, <i>b</i>₂, <i>b</i>₃,  что  <i>a</i>₁<i>a</i>₂<i>a</i>₃ ≠ 0.  Оказалось, что  <i>P</i>(<i>a</i>₁<i>x + b</i>₁) + <i>P</i>(<i>a</i>₂<i>x + b</i>₂) = <i>P</i>(<i>a</i><sub>3&lt...

Для натурального <i>a</i> обозначим через <i>P</i>(<i>a</i>) наибольший простой делитель числа  <i>a</i>² + 1.

Докажите, что существует бесконечно много таких троек различных натуральных чисел <i>a, b, c</i>, что  <i>P</i>(<i>a</i>) = <i>P</i>(<i>b</i>) = <i>P</i>(<i>c</i>).

Целые числа <i>a</i> и <i>b</i> таковы, что при любых натуральных <i>m</i> и <i>n</i> число  <i>am</i>² + <i>bn</i>²  является точным квадратом. Докажите, что  <i>ab</i> = 0.

Дано натуральное  <i>n</i> > 1.  Число  <i>a > n</i>²  таково, что среди чисел  <i>a</i> + 1, <i>a</i> + 2, ..., <i>a + n</i>  есть кратные каждого из чисел  <i>n</i>² + 1, <i>n</i>² + 2, ..., <i>n</i>² + <i>n</i>.

Докажите, что  <i>a > n</i>⁴ – <i>n</i>³.

В бесконечной возрастающей последовательности натуральных чисел каждое делится хотя бы на одно из чисел 1005 и 1006, но ни одно не делится на 97. Кроме того, каждые два соседних числа отличаются не более чем на <i>k</i>. При каком наименьшем <i>k</i> такое возможно?

В бесконечной последовательности  (<i>x_n</i>)  первый член <i>x</i>₁ – рациональное число, большее 1, и  <i>x</i>_<i>n</i>+1 = <i>x_n</i> + ¹/_{[<i>x_n</i>]}  при всех натуральных <i>n</i>.

Докажите, что в этой последовательности есть целое число.

Каких точных квадратов, не превосходящих 10²⁰, больше: тех, у которых семнадцатая с конца цифра – 7, или тех, у которых семнадцатая с конца цифра – 8?

Докажите, что для любого многочлена <i>P</i> с целыми коэффициентами и любого натурального <i>k</i> существует такое натуральное <i>n</i>, что  <i>P</i>(1) + <i>P</i>(2) + ... + <i>P</i>(<i>n</i>)  делится на <i>k</i>.

Функции  <i>f</i>(<i>x</i>) – <i>x</i>  и  <i>f</i>(<i>x</i>²) – <i>x</i>⁶  определены при всех положительных <i>x</i> и возрастают.

Докажите, что функция   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110122/problem_110122_img_2.gif">   также возрастает при всех положительных <i>x</i>.

Дана последовательность<i> {x_k} </i>такая, что<i> x₁=</i>1,<i> x_n+</i>1<i>=n sin x_n+</i>1. Докажите, что последовательность непериодична.

Клетки квадрата50×50раскрашены в четыре цвета. Докажите, что существует клетка, с четырех сторон от которой (т.е. сверху, снизу, слева и справа) имеются клетки одного с ней цвета (не обязательно соседние с этой клеткой).

О функции<i> f</i>(<i>x</i>), заданной на всей действительной прямой, известно, что при любом<i> a></i>1функция<i> f</i>(<i>x</i>)<i>+f</i>(<i>ax</i>)непрерывна на всей прямой. Докажите, что<i> f</i>(<i>x</i>)также непрерывна на всей прямой.

Сумма и произведение двух чисто периодических десятичных дробей – чисто периодические дроби с периодом <i>T</i>.

Докажите, что исходные дроби имеют периоды не больше <i>T</i>.

Пусть<i> α </i>,<i> β </i>,<i> γ </i>,<i> τ </i>– такие положительные числа, что при всех<i> x </i> <center><i>

sinα x+ sinβ x= sinγ x+ sinτ x.

</i></center> Докажите, что<i> α=γ </i>или<i> α=τ </i>.

Многочлены <i>P, Q</i> и <i>R</i> с действительными коэффициентами, среди которых есть многочлен второй степени и многочлен третьей степени, удовлетворяют равенству  <i>P</i>² + <i>Q</i>² = <i>R</i>².  Докажите, что все корни одного из многочленов третьей степени – действительные.

Таня задумала натуральное число  <i>X</i> ≤ 100,  а Саша пытается его угадать. Он выбирает пару натуральных чисел <i>M</i> и <i>N</i>, меньших 100, и задаёт вопрос: "Чему равен наибольший общий делитель  <i>X + M</i>  и <i>N</i>?" Докажите, что Саша может угадать Танино число, задав семь таких вопросов.

Найдите сумму <center> <img src="/storage/problem-media/109715/problem_109715_img_2.gif">

</center>

Сумма цифр в десятичной записи натурального числа<i> n </i>равна 100, а сумма цифр числа44<i>n </i>равна 800. Чему равна сумма цифр числа3<i>n </i>?

Существуют ли три натуральных числа, больших 1 и таких, что квадрат каждого из них, уменьшенный на единицу, делится на каждое из остальных?

Последовательность натуральных чисел <i>a_i</i> такова, что  НОД(<i>a_i, a_j</i>) = НОД(<i>i, j</i>)  для всех  <i>i ≠ j</i>.  Докажите, что  <i>a_i = i</i>  для всех  <i>i</i> ∈ <b>N</b>.

Могут ли все числа 1, 2, 3 ... 100 быть членами 12 геометрических прогрессий?

Даны три приведённых квадратных трехчлена:  <i>P</i>₁(<i>x</i>), <i>P</i>₂(<i>x</i>) и <i>P</i>₃(<i>x</i>). Докажите, что уравнение  |<i>P</i>₁(<i>x</i>)| + |<i>P</i>₂(<i>x</i>)| = |<i>P</i>₃(<i>x</i>)|  имеет не более восьми корней.

Дан кубический многочлен  <i>f</i>(<i>x</i>). Назовём <i>циклом</i> такую тройку различных чисел  (<i>a, b, c</i>),  что  <i>f</i>(<i>a</i>) = <i>b,  f</i>(<i>b</i>) = <i>c</i>  и  <i>f</i>(<i>c</i>) = <i>a</i>.  Известно, что нашлись восемь циклов  (<i>a_i, b_i, c_i</i>),  <i>i</i> = 1, 2, ..., 8,  в которых участвуют 24 различных числа. Докажите, что среди восьми чисел вида  <i>a_i + b_i + c_i</i>  есть хотя бы три различных.

Натуральное число <i>N</i> представляется в виде  <i>N = a</i>₁ – <i>a</i>₂ = <i>b</i>₁ – <i>b</i>₂ = <i>c</i>₁ – <i>c</i>₂ = <i>d</i>₁ – <i>d</i>₂,  где <i>a</i>₁ и <i>a</i>₂ – квадраты, <i>b</i>₁ и <i>b</i>₂ – кубы, <i>c</i>₁ и <i>c</i>₂ – пятые степени, а <i>d</i><sub>1</su...