Назад

Олимпиадная задача по модулям и многочленам для 8–10 класса от Голованова А. С.

Задача 209558 • Сложность: 3 • 8-10 класс
Задача

Даны три приведённых квадратных трехчлена:  P1(x), P2(x) и P3(x). Докажите, что уравнение  |P1(x)| + |P2(x)| = |P3(x)|  имеет не более восьми корней.

Авторы:
Голованов А. С.
Разделы:
Модуль числа Многочлены
Источники:
Олимпиады и турниры Всероссийская олимпиада по математике 1993-1994 Заключительный этап
Количество версий:
4
Решение

Каждый корень данного уравнения является корнем одного из квадратных трёхчленов  ±P1±P2±P3  с некоторым набором знаков. Таких наборов 8, и все они дают действительно квадратные трёхчлены, так как коэффициент приx² нечётен. Однако двум противоположным наборам знаков соответствуют квадратные уравнения, имеющие одни и те же корни. Значит, все решения уравнения  |P1(x)| + |P2(x)| = |P3(x)|  содержатся среди корней четырёх квадратных уравнений. Следовательно, их не более восьми.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет