Олимпиадные задачи по математике для 4-8 класса - сложность 2 с решениями

По кругу выписаны 1000 чисел. Петя вычислил модули разностей соседних чисел, Вася – модули разностей чисел, стоящих через одно, а Толя – модули разностей чисел, стоящих через два. Известно, что каждое Петино число больше любого Васиного хотя бы вдвое. Докажите, что каждое Толино число не меньше любого Васиного.

В числе не меньше 10 разрядов, в его записи используются только две разные цифры, причём одинаковые цифры не стоят рядом.

На какую наибольшую степень двойки может делиться такое число?

На доске написаны девять приведённых квадратных трёхчленов:  <i>x</i>² + <i>a</i>₁<i>x + b</i>₁,  <i>x</i>² + <i>a</i>₂<i>x + b</i>₂,  ...,  <i>x</i>² + <i>a</i>₉<i>x + b</i>₉. Известно, что последовательности  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₉  и  <i>b</i>₁, <i>b</i>₂, ..., <i>b</i>₉  – арифметические прогрессии. Оказалось, что сумма все...

Для некоторых 2011 натуральных чисел выписали на доску все их 2011·1005 попарных сумм.

Могло ли оказаться, что ровно треть выписанных сумм делится на 3, и ещё ровно треть из них дают остаток 1 при делении на 3?

Числа <i>a</i> и <i>b</i> таковы, что   <i>a</i>³ – <i>b</i>³ = 2,  <i>a</i>⁵ – <i>b</i>⁵ ≥ 4.   Докажите, что  <i>a</i>² + <i>b</i>² ≥ 2.

На доске написаны несколько чисел. Известно, что квадрат каждого записанного числа больше произведения любых двух других записанных чисел. Какое наибольшее количество чисел может быть на доске?

В треугольнике <i>ABC</i> на стороне <i>AB</i> выбраны точки <i>K</i> и <i>L</i> так, что <i>AK</i> = <i>BL</i>, а на стороне <i>BC</i> — точки <i>M</i> и <i>N</i> так, что <i>CN</i> = <i>BM</i>. Докажите, что <i>KN</i> + <i>LM</i> ≥ <i>AC</i>.

Знаменатели двух несократимых дробей равны 600 и 700. Найдите наименьшее возможное значение знаменателя их суммы (в несократимой записи).

Девять лыжников ушли со старта по очереди и прошли дистанцию – каждый со своей постоянной скоростью. Могло ли оказаться, что каждый лыжник участвовал ровно в четырёх обгонах? (В каждом обгоне участвуют ровно два лыжника – тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.)

На гипотенузе <i>AB</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> выбрана точка <i>K</i>, для которой  <i>CK = BC</i>.  Отрезок <i>CK</i> пересекает биссектрису <i>AL</i> в её середине.

Найдите углы треугольника <i>ABC</i>.

По кругу расставлены красные и синие числа. Каждое красное число равно сумме соседних чисел, а каждое синее– полусумме соседних чисел. Докажите, что сумма красных чисел равна нулю.

Дана неравнобокая трапеция <i>ABCD</i>. Точка <i>A</i>₁ – это точка пересечения описанной окружности треугольника <i>BCD</i> с прямой <i>AC</i>,

отличная от <i>C</i>. Аналогично определяются точки <i>B</i>₁, <i>C</i>₁, <i>D</i>₁. Докажите, что <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁ – тоже трапеция.

Сережа нарисовал треугольник <i>ABC</i> и провёл в нем медиану <i>AD</i>. Затем он сообщил Илье, какова в этом треугольнике длина медианы <i>AD</i> и какова длина стороны <i>AC</i>. Илья, исходя из этих данных, доказал утверждение: угол <i>CAB</i> тупой, а угол <i>DAB</i> острый. Найдите отношение  <i>AD</i> : <i>AC</i>  (и докажите для любого треугольника с таким отношением утверждение Ильи).

Все целые числа от<i> -</i>33до100включительно расставили в некотором порядке и рассмотрели суммы каждых двух соседних чисел. Оказалось, что среди них нет нулей. Тогда для каждой такой суммы нашли число, ей обратное. Полученные числа сложили. Могло ли в результате получится целое число?

Известно, что сумма цифр натурального числа <i>N</i> равна 100, а сумма цифр числа 5<i>N</i> равна 50. Докажите, что <i>N</i> чётно.

Даны 19 карточек. Можно ли на каждой из карточек написать ненулевую цифру так, чтобы из этих карточек можно было сложить ровно одно 19-значное число, кратное на 11?

В ряд стоят 100 детей разного роста. Разрешается выбрать любых 50 детей, стоящих подряд, и переставить их между собой как угодно (остальные остаются на своих местах). Как всего за шесть таких перестановок гарантированно построить всех детей по убыванию роста слева направо?

В произведении пяти натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно в 15 раз?

В произведении трёх натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно на 2016?

Окружность ω касается сторон угла <i>BAC</i> в точках <i>B</i> и <i>C</i>. Прямая <i>l</i> пересекает отрезки <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i> соответственно. Окружность ω пересекает <i>l</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Точки <i>S</i> и <i>T</i> выбраны на отрезке <i>BC</i> так, что  <i>KS || AC</i>  и  <i>LT || AB</i>.  Докажите, что точки <i>P, Q, S</i> и <i>T</i> лежат на одной окружности.

Дан квадрат со стороной 10. Разрежьте его на 100 равных четырёхугольников, каждый из которых вписан в окружность диаметра  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65727/problem_65727_img_2.gif">

На гипотенузе <i>BC</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> выбрана точка <i>K</i> так, что  <i>AB = AK</i>.  Отрезок <i>AK</i> пересекает биссектрису <i>CL</i> в её середине.

Найдите острые углы треугольника <i>ABC</i>.

Вершины равнобедренного треугольника и центр его описанной окружности лежат на четырёх различных сторонах квадрата.

Найдите углы треугольника.

На плоскости даны несколько точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые точки соединены отрезками. Известно, что любая прямая, не проходящая через данные точки, пересекает чётное число отрезков. Докажите, что из каждой точки выходит чётное число отрезков.

Длина каждой стороны выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> не меньше 1 и не больше 2. Его диагонали пересекаются в точке <i>O</i>.

Докажите, что <i>S_AOB + S_COD</i> ≤ 2(<i>S_AOD + S_BOC</i>).