Математическая олимпиадная задача по последовательностям для 8

Олимпиадная задача по последовательностям и алгебре для 8–10 класса от Богданова И. И.

Задача

Все целые числа от -33до100включительно расставили в некотором порядке и рассмотрели суммы каждых двух соседних чисел. Оказалось, что среди них нет нулей. Тогда для каждой такой суммы нашли число, ей обратное. Полученные числа сложили. Могло ли в результате получится целое число?

Решение

Приведем пример такой расстановки. Рассмотрим последовательность 100, -33, 99, -32, .., 34, 33. Тогда, если первое число пары стоит на нечетном месте, то сумма равна67. А если на четном месте, то66. Обратные величины будут соответственно равны и , причем первых –67, а вторых –66. Тогда итоговая сумма равна2.