Задача
На плоскости даны несколько точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые точки соединены отрезками. Известно, что любая прямая, не проходящая через данные точки, пересекает чётное число отрезков. Докажите, что из каждой точки выходит чётное число отрезков.
Решение
Можно считать, что все точки A1, ..., Ak находятся на разной высоте: чем больше номер, тем точка выше. Проведем горизонтальные прямые l1, ..., lk–1, разделяющие точки: li проходит выше Ai, но ниже Ai+1. Общее количество точек пересечения прямых li–1 и li с нашими отрезками чётно. При этом на каждом отрезке, не выходящем из Ai, чётное число точек пересечения: 0 или 2, а на каждом отрезке, выходящем из Ai, – ровно одна. Следовательно, количество последних отрезков чётно.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь