Олимпиадная задача: трапеция и описанная окружность в планиметрии для 8–11 классов
Задача
Дана неравнобокая трапеция ABCD. Точка A1 – это точка пересечения описанной окружности треугольника BCD с прямой AC,
отличная от C. Аналогично определяются точки B1, C1, D1. Докажите, что A1B1C1D1 – тоже трапеция.
Решение
Пусть O – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Так как четырёхугольник A1BCD вписан в окружность, то BO·OD = A1O·OC. Аналогично
BO·OD = AO·OC1, AO·OC = BO·OD1 и AO·OC = B1O·OD.
Из первых двух равенств следует, что OC : AO = OC1 : A1O, из двух других – BO : OD = B1O : OD1.
Условие параллельности сторон BC и AD трапеции ABCD можно записать в виде BO : OD = OC : AO (из подобия треугольников BOC и DOA).
Но тогда BO1 : OD1 = OC1 : A1O, то есть B1C1 || A1D1.
Аналогично проверяем, что из непараллельности сторон AB и CD следует непараллельность сторон A1B1 и C1D1.
Таким образом, A1B1C1D1 – трапеция.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь