Назад

Олимпиадная задача по планиметрии: треугольник Серёжи и медиана AD для 8-9 класса

Задача 211684 • Сложность: 2 • 8-9 класс
Задача

Сережа нарисовал треугольник ABC и провёл в нем медиану AD. Затем он сообщил Илье, какова в этом треугольнике длина медианы AD и какова длина стороны AC. Илья, исходя из этих данных, доказал утверждение: угол CAB тупой, а угол DAB острый. Найдите отношение  AD : AC  (и докажите для любого треугольника с таким отношением утверждение Ильи).

Авторы:
Богданов И. И.
Разделы:
Планиметрия
Источники:
Турнир городов Олимпиады и турниры 30 турнир (2008/2009 год) осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
Количество версий:
3
Решение

  Пусть E – середина AC. Если  AC : AD = 2,  то треугольник DAE равнобедренный, значит, углы ADE и AED при его основании острые. Осталось заметить, что   ∠DAB = ∠ADE,  ∠A = 180° – ∠AED.

  Если  AC : AD > 2,  то угол DAB может быть прямым; если  AC : AD < 2,  то угол A может быть прямым.

Ответ

1 : 2.

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет