Олимпиадные задачи из источника «Региональный этап»
Для каждого натурального <i>n</i> обозначим через <i>S<sub>n</sub></i> сумму первых <i>n</i> простых чисел: <i>S</i><sub>1</sub> = 2, <i>S</i><sub>2</sub> = 2 + 3 = 5, <i>S</i><sub>3</sub> = 2 + 3 + 5 = 10, ... .
Могут ли два подряд идущих члена последовательности (<i>S<sub>n</sub></i>) оказаться квадратами натуральных чисел?
В компании из семи человек любые шесть могут сесть за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми.
Докажите, что и всю компанию можно усадить за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми.
Пусть точки<i> A </i>,<i> B </i>,<i> C </i>лежат на окружности, а прямая<i> b </i>касается этой окружности в точке<i> B </i>. Из точки<i> P </i>, лежащей на прямой<i> b </i>, опущены перпендикуляры<i> PA<sub>1</sub> </i>и<i> PC<sub>1</sub> </i>на прямые<i> AB </i>и<i> BC </i>соответственно (точки<i> A<sub>1</sub> </i>и<i> C<sub>1</sub> </i>лежат на отрезках<i> AB </i>и<i> BC </i>). Докажите, что<i> A<sub>1</sub>C<sub>1</sub> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115370/problem_115370_img_2.gif"> A...
В треугольнике<i> ABC </i>угол<i> A </i>равен60<i><sup>o</sup> </i>. Пусть<i> BB<sub>1</sub> </i>и<i> CC<sub>1</sub> </i> — биссектрисы этого треугольника. Докажите, что точка, симметричная вершине A относительно прямой<i> B<sub>1</sub>C<sub>1</sub> </i>, лежит на стороне<i> BC </i>.
Можно ли при каком-то натуральном<i> k </i>разбить все натуральные числа от 1 до<i> k </i>на две группы и выписать числа в каждой группе подряд в некотором порядке так, чтобы получились два одинаковых числа?
Семь лыжников с номерами 1, 2, ... , 7 ушли со старта по очереди и прошли дистанцию – каждый со своей постоянной скоростью. Оказалось, что каждый лыжник ровно дважды участвовал в обгонах. (В каждом обгоне участвуют ровно два лыжника – тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.) По окончании забега должен быть составлен протокол, состоящий из номеров лыжников в порядке финиширования. Докажите, что в забеге с описанными свойствами может получиться не более двух различных протоколов.
Даны квадратные трёхчлены <i>x</i>² + 2<i>a</i><sub>1</sub><i>x + b</i><sub>1</sub>, <i>x</i>² + 2<i>a</i><sub>2</sub><i>x + b</i><sub>2</sub>, <i>x</i>² + 2<i>a</i><sub>3</sub><i>x + b</i><sub>3</sub>. Известно, что <i>a</i><sub>1</sub><i>a</i><sub>2</sub><i>a</i><sub>3</sub> = <i>b</i><sub>1</sub><i>b</i><sub>2</sub><i>b</i><sub>3</sub> > 1.
Докажите, что хотя бы один из этих трёхчленов имеет два корня.
<img align="right" src="/storage/problem-media/115364/problem_115364_img_2.gif"> Назовём лестницей высоты <i>n</i> фигуру, состоящую из всех клеток квадрата <i>n</i>×<i>n</i>, лежащих не выше диагонали (на рисунке показана лестница высоты 4). Сколькими различными способами можно разбить лестницу высоты <i>n</i> на несколько прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, а площади попарно различны?
Существуют ли три попарно различных ненулевых целых числа, сумма которых равна нулю, а сумма тринадцатых степеней которых является квадратом некоторого натурального числа?
Прямые, касающиеся окружности ω в точках <i>B</i> и <i>D</i>, пересекаются в точке <i>P</i>. Прямая, проходящая через <i>P</i>, высекает на окружности хорду <i>AC</i>. Через точку отрезка <i>AC</i> проведена прямая, параллельная <i>BD</i>. Докажите, что она делит длины ломаных <i>ABC</i> и <i>ADC</i> в одинаковых отношениях.
Ненулевые числа <i>a, b, c</i> таковы, что <i>ax</i>² + <i>bx + c > cx</i> при любом <i>x</i>. Докажите, что <i>cx</i>² – <i>bx + a > cx – b</i> при любом <i>x</i>.
Натуральное число<i>b</i>назовём<i>удачным</i>, если для любого натурального<i>a</i>, такого, что<i>a</i><sup>5</sup>делится на<i>b</i>², число<i>a</i>² делится на<i>b</i>. Найдите количество удачных натуральных чисел, меньших 2010.
В треугольнике<i> ABC </i>проведены биссектрисы<i> AD </i>,<i> BE </i>и<i> CF </i>, пересекающиеся в точке<i> I </i>. Серединный перпендикуляр к отрезку<i> AD </i>пересекает прямые<i> BE </i>и<i> CF </i>в точках<i> M </i>и<i> N </i>соответственно. Докажите, что точки<i> A </i>,<i> I </i>,<i> M </i>и<i> N </i>лежат на одной окружности.
Девять лыжников ушли со старта по очереди и прошли дистанцию – каждый со своей постоянной скоростью. Могло ли оказаться, что каждый лыжник участвовал ровно в четырёх обгонах? (В каждом обгоне участвуют ровно два лыжника – тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.)
В клетки квадрата 100×100 расставили числа 1, 2, ..., 10000, каждое – по одному разу; при этом числа, различающиеся на 1, записаны в соседних по стороне клетках. После этого посчитали расстояния между центрами каждых двух клеток, числа в которых различаются ровно на 5000. Пусть <i>S</i> – минимальное из этих расстояний. Какое наибольшее значение может принимать <i>S</i>?
Целые числа <i>a, b, c</i> таковы, что значения квадратных трёхчленов <i>bx</i>² + <i>cx + a</i> и <i>cx</i>² + <i>ax + b</i> при <i>x</i> = 1234 совпадают.
Может ли первый трёхчлен при <i>x</i> = 1 принимать значение 2009?
В основании четырёхугольной пирамиды<i> SABCD </i>лежит параллелограмм<i> ABCD </i>. Докажите, что для любой точки<i> O </i>внутри пирамиды сумма объёмов тетраэдров<i> OSAB </i>и<i> OSCD </i>равна сумме объёмов тетраэдров<i> OSBC </i>и<i> OSDA </i>.
Углы треугольника<i> α, β, γ </i>удовлетворяют неравенствам<i> sin α > cos β, sin β > cos γ, sin γ > cos α </i>. Докажите, что треугольник остроугольный.
Назовём тройку натуральных чисел (<i>a, b, c</i>) <i>квадратной</i>, если они образуют арифметическую прогрессию (именно в таком порядке), число <i>b</i> взаимно просто с каждым из чисел <i>a</i> и <i>c</i>, а число <i>abc</i> является точным квадратом. Докажите, что для любой квадратной тройки найдётся другая квадратная тройка, имеющая с ней хотя бы одно общее число. (Тройка (<i>c, b, a</i>) новой тройкой не считается.)
Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность с диаметром <i>AC</i>. Точки <i>K</i> и <i>M</i> – проекции вершин <i>A</i> и <i>C</i> соответственно на прямую <i>BD</i>. Через точку <i>K</i> проведена прямая, параллельная <i>BC</i> и пересекающая <i>AC</i> в точке <i>P</i>. Докажите, что угол <i>KPM</i> – прямой.
В ряду из 2009 гирек вес каждой гирьки составляет целое число граммов и не превышает 1 кг. Веса каждых двух соседних гирек отличаются ровно на 1 г, а общий вес всех гирь в граммах является чётным числом. Докажите, что гирьки можно разделить на две кучки, суммы весов в которых равны.
Каждый катет прямоугольного треугольника увеличили на единицу. Могла ли его гипотенуза увеличиться более, чем на <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115349/problem_115349_img_2.gif"> ?
Незнайка выписал по кругу 11 натуральных чисел. Для каждых двух соседних чисел он посчитал их разность (из большего вычел меньшее). В результате среди найденных разностей оказалось четыре единицы, четыре двойки и три тройки. Докажите, что Незнайка где-то допустил ошибку.