Олимпиадная задача по стереометрии: объёмы тетраэдров в пирамиде SABCD
Задача
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD . Докажите, что для любой точки O внутри пирамиды сумма объёмов тетраэдров OSAB и OSCD равна сумме объёмов тетраэдров OSBC и OSDA .
Решение
Пусть X — точка пересечения луча SO с плоскостью ABCD (см. рис.). Так как точка O лежит внутри
пирамиды, то точка X лежит внутри ее основания. При этом SXAB + SXCD = SXBC + SXDA (одно из возможных доказательств этого факта усматривается из рис. — каждая из сумм
равна половине площади параллелограмма ABCD ). Следовательно,
VXSAB + VXSCD = VXSBC + VXSDA , (1)
так как высота этих пирамид, опущенная из вершины S , общая.
Аналогично,
VXOAB + VXOCD = VXOBC + VXODA . (2)
Вычитая из равенства (1) равенство (2), получаем требуемое.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь