Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 классов от Прокопенко D.

Олимпиадная задача по планиметрии: точка пересечения биссектрис в треугольнике

Задача

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD , BE и CF , пересекающиеся в точке I . Серединный перпендикуляр к отрезку AD пересекает прямые BE и CF в точках M и N соответственно. Докажите, что точки A , I , M и N лежат на одной окружности.

Решение

Для решения задачи достаточно установить, что MAI = MNI (см. рис.) Пусть K — середина отрезка AD . Заметим, что MNI = KNI = 90^o - KIN = 90^o - ( ACI + CAI) = (180^o - ( ACB + BAC)) = ABC . Остаётся установить, что MAI = ABC . Пусть M' — точка пересечения окружности, описанной около треугольника ABD , с серединным перпендикуляром к отрезку AD (точка M' лежит на дуге AD , не содержащей точку B ). Тогда AM' = DM' , а значит, и M'BD = M'BA , как опирающиеся на равные дуги. Это означает, что точка M' лежит на биссектрисе угла ABC и, следовательно, M' совпадает с M . Итак, точки A , M , D и B лежат на одной окружности, откуда MAI = MBD = ABC , что и требовалось.