Олимпиадная задача по математике: разбиение чисел на группы с одинаковыми значениями (7–9 класс)
Задача
Можно ли при каком-то натуральном k разбить все натуральные числа от 1 до k на две группы и выписать числа в каждой группе подряд в некотором порядке так, чтобы получились два одинаковых числа?
Решение
Предположим противное. Ясно, что k > 10, так как в наборе цифр от 1 до 9 нет повторяющихся. Рассмотрим наибольшую степень десятки10n , не превосходящую k. Последовательность цифр числа10n целиком войдет в одно из составленных чисел. Но тогда такая же последовательность из единицы и n последующих нулей должна повториться во втором числе. Эта последовательность цифр не могла появиться из объединения двух или более чисел (так как натуральные числа не начинаются с нулей), значит, она содержалась в одном числе, отличном от10n . Но наименьшее число, отличное от10n и содержащее такой набор цифр, — это10n+1. Мы получили противоречие с тем, что10n — максимальная степень десятки, не превосходящая k .
Ответ
Нет
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь