Олимпиадная задача по планиметрии и алгебраическим неравенствам 8-9 класс

Решение 1:Пусть длины катетов исходного прямоугольного треугольника были равны x и y. Тогда длина его гипотенузы была  ,  а после увеличения катетов стала  .  Согласно неравенству между средним квадратичным и средним арифметическим

    Следовательно,

Решение 2:Расположим исходный и полученный треугольники ABC и AB'C' так, как показано на рисунке  (BB' = CC' = 1).  Тогда     Однако сумма двух перпендикулярных единичных векторов  

имеет длину   ;  значит,  

Не могла.