Олимпиадные задачи из источника «2006-2007» для 8 класса

В квадрате 10×10 расставлены числа от 1 до 100: в первой строчке – от 1 до 10 слева направо, во второй – от 11 до 20 слева направо и т.д. Андрей собирается разрезать квадрат на доминошки 1×2, посчитать произведение чисел в каждой доминошке и сложить полученные 50 чисел. Он стремится получить как можно меньшую сумму. Как ему следует разрезать квадрат?

Для натурального  <i>n</i> > 3  будем обозначать через <i>n</i>? (<i>n-вопросиал</i>) произведение всех простых чисел, меньших <i>n</i>. Решите уравнение  <i>n</i>? = 2<i>n</i> + 16.

Через точку <i>I</i> пересечения биссектрис треугольника <i>ABC</i> проведена прямая, пересекающая стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i> соответственно. Треугольник <i>BMN</i> оказался остроугольным. На стороне <i>AC</i> выбраны точки <i>K</i> и <i>L</i> так, что  ∠<i>ILA</i> = ∠<i>IMB</i>,  ∠<i>IKC</i> = ∠<i>INB</i>.  Докажите, что

<i>AM + KL + CN = AC</i>.

От Майкопа до Белореченска 24 км. Три друга должны добраться: двое из Майкопа в Белореченск, а третий – из Белореченска в Майкоп. У них есть один велосипед, первоначально находящийся в Майкопе. Каждый из друзей может идти (со скоростью не более 6 км/ч) и ехать на велосипеде (со скоростью не более 18 км/ч). Оставлять велосипед без присмотра нельзя. Докажите, что через 2 часа 40 минут все трое друзей могут оказаться в пунктах назначения. Ехать на велосипеде вдвоём нельзя.

Фокусник Арутюн и его помощник Амаяк собираются показать следующий фокус. На доске нарисована окружность. Зрители отмечают на ней 2007 различных точек, затем помощник фокусника стирает одну из них. После этого фокусник впервые входит в комнату, смотрит на рисунок и отмечает полуокружность, на которой лежала стертая точка. Как фокуснику договориться с помощником, чтобы фокус гарантированно удался?

На стороне <i>BC</i> ромба <i>ABCD</i> выбрана точка <i>M</i>. Прямые, проведённые через <i>M</i> перпендикулярно диагоналям <i>BD</i> и <i>AC</i>, пересекают прямую <i>AD</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Оказалось, что прямые <i>PB, QC</i> и <i>AM</i> пересекаются в одной точке. Чему может быть равно отношение  <i>BM</i> : <i>MC</i>?

В клетках таблицы 10×10 произвольно расставлены натуральные числа от 1 до 100, каждое по одному разу. За один ход разрешается поменять местами любые два числа. Докажите, что за 35 ходов можно добиться того, чтобы сумма каждых двух чисел, стоящих в клетках с общей стороной, была составной.

Даны числа <i>a, b, c</i>.

Докажите, что хотя бы одно из уравнений  <i>x</i>² + (<i>a – b</i>)<i>x</i> + (<i>b – c</i>) = 0,  <i>x</i>² + (<i>b – c</i>)<i>x</i> + (<i>c – a</i>) = 0,  <i>x</i>² + (<i>c – a</i>)<i>x</i> + (<i>a – b</i>) = 0  имеет решение.

В каждой вершине выпуклого 100-угольника написано по два различных числа. Докажите, что можно вычеркнуть по одному числу в каждой вершине так, чтобы оставшиеся числа в каждых двух соседних вершинах были различными.

В треугольнике <i>ABC</i> проведена биссектриса <i>BB</i>₁. Перпендикуляр, опущенный из точки <i>B</i>₁ на <i>BC</i>, пересекает дугу <i>BC</i> описанной окружности треугольника <i>ABC</i> в точке <i>K</i>. Перпендикуляр опущенный из точки <i>B</i> на <i>AK</i> пересекает <i>AC</i> в точке <i>L</i>. Докажите что точки <i>K, L</i> и середина дуги <i>AC</i> (не содержащей точку <i>B</i>) лежат на одной прямой.

Два игрока по очереди проводят диагонали в правильном (2<i>n+</i>1)-угольнике  (<i>n</i> > 1).  Разрешается проводить диагональ, если она пересекается (по внутренним точкам) с чётным числом ранее проведённых диагоналей (и не была проведена раньше). Проигрывает игрок, который не может сделать очередной ход. Кто выиграет при правильной игре?

На доске написали 100 дробей, у которых в числителях стоят все числа от 1 до 100 по одному разу и в знаменателях стоят все числа от 1 до 100 по одному разу. Оказалось, что сумма этих дробей есть несократимая дробь со знаменателем 2. Докажите, что можно поменять местами числители двух дробей так, чтобы сумма стала несократимой дробью с нечётным знаменателем.

Приведённые квадратные трёхчлены <i>f</i>(<i>x</i>) и <i>g</i>(<i>x</i>) таковы, что уравнения  <i>f</i>(<i>g</i>(<i>x</i>)) = 0  и  <i>g</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = 0  не имеют вещественных корней.

Докажите, что хотя бы одно из уравнений  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = 0  и  <i>g</i>(<i>g</i>(<i>x</i>)) = 0  тоже не имеет вещественных корней.

Грани куба 9×9×9 разбиты на единичные клетки. Куб оклеен без наложений бумажными полосками 2×1 (стороны полосок идут по сторонам клеток). Докажите, что число согнутых полосок нечётно.

В классе учится 15 мальчиков и 15 девочек. В день 8 Марта некоторые мальчики позвонили некоторым девочкам и поздравили их с праздником (никакой мальчик не звонил одной и той же девочке дважды). Оказалось, что детей можно единственным образом разбить на 15 пар так, чтобы в каждой паре оказались мальчик с девочкой, которой он звонил. Какое наибольшее число звонков могло быть сделано?

Внутри равнобедренного треугольника <i>ABC</i>  (<i>AB = BC</i>)  выбрана точка <i>M</i> таким образом, что  ∠<i>AMC</i> = 2∠<i>B</i>.  На отрезке <i>AM</i> нашлась такая точка <i>K</i>, что

∠<i>BKM</i> = ∠<i>B</i>.  Докажите, что  <i>BK = KM + MC</i>.

В натуральном числе <i>A</i> переставили цифры, получив число <i>B</i>. Известно, что   <img align="top" src="/storage/problem-media/111791/problem_111791_img_2.gif">   Найдите наименьшее возможное значение <i>n</i>.

Среди 11 внешне одинаковых монет 10 настоящих, весящих по 20 г, и одна фальшивая, весящая 21 г. Имеются чашечные весы, которые оказываются в равновесии, если груз на правой их чашке ровно вдвое тяжелее, чем на левой. (Если груз на правой чашке меньше, чем удвоенный груз на левой, то перевешивает левая чашка, если больше, то правая.) Как за три взвешивания на этих весах найти фальшивую монету?

На шахматной доске расставлены во всех клетках 32 белых и 32 черных пешки. Пешка может бить пешки противоположного цвета, делая ход по диагонали на одну клетку и становясь на место взятой пешки (белые пешки могут бить только вправо-вверх и влево-вверх, а чёрные – только влево-вниз и вправо-вниз). Другим образом пешки ходить не могут. Какое наименьшее количество пешек может остаться на доске?

Существуют ли такие простые числа <i>p</i>₁, <i>p</i>₂, ..., <i>p</i>₂₀₀₇, что  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111788/problem_111788_img_2.gif">  делится на <i>p</i>₂,  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111788/problem_111788_img_3.gif">  делится на <i>p</i>₃, ...,  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111788/problem_111788_img_4.gif">  делится на <i>p</i>₁?

Петя задумал натуральное число и для каждой пары его цифр выписал на доску их разность. После этого он стер некоторые разности, и на доске остались числа 2, 0, 0, 7. Какое наименьшее число мог задумать Петя?

В выпуклом четырёхугольнике семь из восьми отрезков, соединяющих вершины с серединами противоположных сторон, равны.

Докажите, что все восемь отрезков равны.

Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия, состоящая из натуральных чисел, содержит точный куб натурального числа.

Докажите, что она содержит и точный куб, не являющийся точным квадратом.

На стороне<i> BC </i>треугольника<i> ABC </i>выбрана произвольная точка<i> D </i>. В треугольники<i> ABD </i>и<i> ACD </i>вписаны окружности с центрами<i> K </i>и<i> L </i>соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников<i> BKD </i>и<i> CLD </i>вторично пересекаются на фиксированной окружности.

У двух треугольников равны наибольшие стороны и равны наименьшие углы. Строится новый треугольник со сторонами, равными суммам соответствующих сторон данных треугольников (складываются наибольшие стороны двух треугольников, средние по длине стороны и наименьшие стороны). Докажите, что площадь нового треугольника не меньше удвоенной суммы площадей исходных.