Олимпиадные задачи по математике
В треугольнике <i>ABC</i> проведена биссектриса <i>BB</i><sub>1</sub>. Перпендикуляр, опущенный из точки <i>B</i><sub>1</sub> на <i>BC</i>, пересекает дугу <i>BC</i> описанной окружности треугольника <i>ABC</i> в точке <i>K</i>. Перпендикуляр опущенный из точки <i>B</i> на <i>AK</i> пересекает <i>AC</i> в точке <i>L</i>. Докажите что точки <i>K, L</i> и середина дуги <i>AC</i> (не содержащей точку <i>B</i>) лежат на одной прямой.
Дано натуральное число <i>n</i> > 6. Рассматриваются натуральные числа, лежащие в промежутке (<i>n</i>(<i>n</i> – 1), <i>n</i>²) и взаимно простые с <i>n</i>(<i>n</i> – 1).
Докажите, что наибольший общий делитель всех таких чисел равен 1.
Некоторые участники олимпиады дружат, и дружба взаимна. Назовём группу участников <i>кликой</i>, если все они дружат между собой. Их число называется <i>размером</i> клики. Известно, что максимальный размер клики чётен. Докажите, что участников можно рассадить по двум аудиториям так, что максимальные размеры клик в обеих аудиториях совпадают.