Олимпиадные задачи из источника «1999-2000» для 11 класса

В стране 2000 городов, некоторые пары городов соединены дорогами. Известно, что через любой город проходит не более <i>N</i> различных несамопересекающихся циклических маршрутов нечётной длины. Докажите, что страну можно разделить на  2<i>N</i> + 2  республики так, чтобы никакие два города из одной республики не были соединены дорогой.

По данному натуральному числу <i>a</i>₀ строится последовательность {<i>a_n</i>} следующим образом   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110036/problem_110036_img_2.gif">   если <i>a_n</i> нечётно, и ^<i>a</i>₀/₂, если <i>a_n</i> чётно. Докажите, что при любом нечётном  <i>a</i>₀ > 5  в последовательности {<i>a_n</i>} встретятся сколь угодно большие числа.

Существует ли функция<i> f</i>(<i>x</i>), определенная при всех<i> x<img src="/storage/problem-media/110035/problem_110035_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/110035/problem_110035_img_3.gif"> </i>и для всех<i> x,y<img src="/storage/problem-media/110035/problem_110035_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/110035/problem_110035_img_3.gif"> </i>удовлетворяющая неравенству <center><i>

|f</i>(<i>x+y</i>)<i>+ sin x+ sin y|<</i>2<i>? </i></center>

Высота и радиус основания цилиндра равны 1. Каким наименьшим числом шаров радиуса 1 можно целиком покрыть этот цилиндр?

Докажите, что можно выбрать такие различные действительные числа  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₁₀,  что уравнение

(<i>x – a</i>₁)(<i>x – a</i>₂)...(<i>x – a</i>₁₀) = (<i>x + a</i>₁)(<i>x + a</i>₂)...(<i>x + a</i>₁₀)  будет иметь ровно пять различных действительных корней.

На прямоугольном столе лежат равные картонные квадраты<i> n </i>различных цветов со сторонами, параллельными сторонам стола. Если рассмотреть любые<i> n </i>квадратов различных цветов, то какие-нибудь два из них можно прибить к столу одним гвоздем. Докажите, что все квадраты некоторого цвета можно прибить к столу2<i>n-</i>2гвоздями.

Пусть  –1 < <i>x</i>₁ < <i>x</i>₂ < ... < <i>x_n</i> < 1  и   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109716/problem_109716_img_2.gif">

Докажите, что если  <i>y</i>₁ < <i>y</i>₂ < ... < <i>y_n</i>,  то   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109716/problem_109716_img_3.gif">

Клетки таблицы 100×100 окрашены в 4 цвета так, что в каждой строке и в каждом столбце ровно по 25 клеток каждого цвета.

Докажите, что найдутся две строки и два столбца, все четыре клетки на пересечении которых окрашены в разные цвета.

Докажите неравенство   sin^<i>n</i>2<i>x</i> + (sin<i>ⁿx</i> – cos<i>ⁿx</i>)² ≤ 1.

Дана последовательность неотрицательных чисел<i> a₁ </i>,<i> a₂ </i>,<i> a_n </i>. Для любого<i> k </i>от 1 до<i> n </i>обозначим через<i> m_k </i>величину <center><i>

<img src="/storage/problem-media/109710/problem_109710_img_2.gif">_l=</i>1<i>,</i>2<i>,..,k <img src="/storage/problem-media/109710/problem_109710_img_3.gif">.

</i></center> Докажите, что при любом<i> α></i>0число тех<i> k </i>, для которых<i> m_k>α </i>, меньше, чем<i>a₁+...

На координатной плоскости дан выпуклый пятиугольник<i> ABCDE </i>с вершинами в целых точках. Докажите, что внутри или на границе пятиугольника<i> A₁B₁C₁D₁E₁ </i><i> (см. рис.) </i>есть хотя бы одна целая точка. <center><i> <img src="/storage/problem-media/109709/problem_109709_img_2.gif"> </i></center>

Найдите все функции<i> f </i>:<i> <img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_3.gif"><img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_2.gif"> </i>, которые для всех<i> x,y,z<img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_4.gif"><img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_2.gif"> </i>удовлетворяют неравенству<i> f</i>(<i>x+y</i>)<i>+f</i>(<i>y+z</i>)<i>+f</i>(<i>z+x</i>)<i><img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_5.gif"> </i>3<i>f</i&gt...

Окружность с центром <i>O</i>, вписанная в треугольник <i>ABC</i>, касается стороны <i>AC</i> в точке <i>K</i>. Вторая окружность, также с центром <i>O</i>, пересекает все стороны треугольника <i>ABC</i>. Пусть <i>E</i> и <i>F</i> – её точки пересечения со сторонами соответственно <i>AB</i> и <i>BC</i>, ближайшие к вершине <i>B; B</i>₁ и <i>B</i>₂ – точки её пересечения со стороной <i>AC, B</i>₁ – ближе к <i>A</i>. Докажите, что точки <i>B, K</i> и точка <i>P</i> пересечения отрезков <i>B</i>₂<i...

На стороне<i> AB </i>треугольника<i> ABC </i>выбрана точка<i> D </i>. Окружность, описанная около треугольника<i> BCD </i>, пересекает сторону<i> AC </i>в точке<i> M </i>, а окружность, описанная около треугольника<i> ACD </i>, пересекает сторону<i> BC </i>в точке<i> N </i>(точки<i> M </i>и<i> N </i>отличны от точки<i> C </i>). Пусть<i> O </i>– центр описанной окружности треугольника<i> CMN </i>. Докажите, что прямая<i> OD </i>перпендикулярна стороне<i> AB </i>.

Биссектрисы <i>AD</i> и <i>CE</i> треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Прямая, симметричная <i>AB</i> относительно <i>CE</i>, пересекает прямую, симметричную <i>BC</i> относительно <i>AD</i>, в точке <i>K</i>. Докажите, что  <i>KO</i> ⊥ <i>AC</i>.

Четырёхугольник <i> ABCD </i> описан около окружности ω. Продолжения сторон <i>AB</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Окружность ω₁ касается стороны <i>BC</i> в точке <i>K</i> и продолжений сторон <i>AB</i> и <i>CD</i>; окружность ω₂ касается стороны <i>AD</i> в точке <i>L</i> и продолжений сторон <i>AB</i> и <i>CD</i>. Известно, что точки <i>O, K</i> и <i>L</i> лежат на одной прямой. Докажите, что середины сторон <i>BC, AD</i> и центр окружности ω лежат на одной прямой.

Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке<i> N </i>. Хорды<i> BA </i>и<i> BC </i>внешней окружности касаются внутренней в точках<i> K </i>и<i> M </i>соответственно. Пусть<i> Q </i>и<i> P </i>– середины дуг<i> AB </i>и<i> BC </i>, не содержащих точку<i> N </i>. Окружности, описанные около треугольников<i> BQK </i>и<i> BPM </i>, пересекаются в точке<i> B</i>1. Докажите, что<i> BPB</i>1<i>Q </i>– параллелограмм.

Пусть <i>M</i> – конечное множество чисел. Известно, что среди любых трёх его элементов найдутся два, сумма которых принадлежит <i>M</i>.

Какое наибольшее число элементов может быть в <i>M</i>?