Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап»
По окружности расставлено 100 натуральных чисел, взаимно простых в совокупности. Разрешается прибавлять к любому числу наибольший общий делитель его соседей. Докажите, что при помощи таких операций можно сделать все числа попарно взаимно простыми.
В некоторых клетках доски 2<i>n</i>×2<i>n</i> стоят чёрные и белые фишки. С доски сначала снимаются все чёрные фишки, которые стоят в одной вертикали с какой-то белой, а затем все белые фишки, стоящие в одной горизонтали с какой-нибудь из оставшихся чёрных. Докажите, что либо чёрных, либо белых фишек на доске осталось не более <i>n</i>².
На доску последовательно выписываются числа <i>a</i><sub>1</sub> = 1, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ... по следующим правилам: <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <i>a<sub>n</sub></i> – 2, если число <i>a<sub>n</sub></i> – 2 – натуральное и еще не выписано на доску, в противном случае <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <i>a<sub>n</sub></i> + 3. Докажите, что все квадраты натуральных чисел появятся в этой последовательности при прибавлении 3 к предыдущему числу.
В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены дорогами. При этом из каждого города выходит хотя бы три дороги.
Докажите, что существует циклический маршрут, длина которого не делится на 3.
Таня задумала натуральное число <i>X</i> ≤ 100, а Саша пытается его угадать. Он выбирает пару натуральных чисел <i>M</i> и <i>N</i>, меньших 100, и задаёт вопрос: "Чему равен наибольший общий делитель <i>X + M</i> и <i>N</i>?" Докажите, что Саша может угадать Танино число, задав семь таких вопросов.
Различные числа <i>a, b</i> и <i>c</i> таковы, что уравнения <i>x</i>² + <i>ax</i> + 1 = 0 и <i>x</i>² + <i>bx + c</i> = 0 имеют общий действительный корень. Кроме того, общий действительный корень имеют уравнения <i>x</i>² + <i>x + a</i> = 0 и <i>x</i>² + <i>cx + b</i> = 0. Найдите сумму <i>a + b + c</i>.
На прямоугольном столе лежат равные картонные квадраты<i> n </i>различных цветов со сторонами, параллельными сторонам стола. Если рассмотреть любые<i> n </i>квадратов различных цветов, то какие-нибудь два из них можно прибить к столу одним гвоздем. Докажите, что все квадраты некоторого цвета можно прибить к столу2<i>n-</i>2гвоздями.
Совершенное число, большее 6, делится на 3. Докажите, что оно делится на 9.
Имеются пять внешне одинаковых гирь с попарно различными массами. Разрешается выбрать любые три из них <i>A</i>, <i>B</i> и <i>C</i> и спросить, верно ли, что
<i>m</i>(<i>A</i>) < <i>m</i>(<i>B</i>) < <i>m</i>(<i>C</i>) (через <i>m</i>(<i>x</i>) обозначена масса гири <i>x</i>). При этом даётся ответ "Да" или "Нет". Можно ли за девять вопросов гарантированно узнать, в каком порядке идут веса гирь?
Пусть –1 < <i>x</i><sub>1</sub> < <i>x</i><sub>2</sub> < ... < <i>x<sub>n</sub></i> < 1 и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109716/problem_109716_img_2.gif">
Докажите, что если <i>y</i><sub>1</sub> < <i>y</i><sub>2</sub> < ... < <i>y<sub>n</sub></i>, то <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109716/problem_109716_img_3.gif">
Найдите сумму <center> <img src="/storage/problem-media/109715/problem_109715_img_2.gif">
</center>
Клетки таблицы 100×100 окрашены в 4 цвета так, что в каждой строке и в каждом столбце ровно по 25 клеток каждого цвета.
Докажите, что найдутся две строки и два столбца, все четыре клетки на пересечении которых окрашены в разные цвета.
Совершенное число, большее 28, делится на 7. Докажите, что оно делится на 49.
Докажите неравенство sin<sup><i>n</i></sup>2<i>x</i> + (sin<i><sup>n</sup>x</i> – cos<i><sup>n</sup>x</i>)² ≤ 1.
Дана последовательность неотрицательных чисел<i> a<sub>1</sub> </i>,<i> a<sub>2</sub> </i>,<i> a<sub>n</sub> </i>. Для любого<i> k </i>от 1 до<i> n </i>обозначим через<i> m<sub>k</sub> </i>величину <center><i>
<img src="/storage/problem-media/109710/problem_109710_img_2.gif"><sub>l=</sub></i>1<i>,</i>2<i>,..,k <img src="/storage/problem-media/109710/problem_109710_img_3.gif">.
</i></center> Докажите, что при любом<i> α></i>0число тех<i> k </i>, для которых<i> m<sub>k</sub>>α </i>, меньше, чем<i>a<sub>1</sub>+...
На координатной плоскости дан выпуклый пятиугольник<i> ABCDE </i>с вершинами в целых точках. Докажите, что внутри или на границе пятиугольника<i> A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>D<sub>1</sub>E<sub>1</sub> </i><i> (см. рис.) </i>есть хотя бы одна целая точка. <center><i> <img src="/storage/problem-media/109709/problem_109709_img_2.gif"> </i></center>
Докажите, что можно разбить все множество натуральных чисел на 100 непустых подмножеств так, чтобы в любой тройке <i>a, b, c</i>, для которой <i>a</i> + 99<i>b = c</i>, нашлись два числа из одного подмножества.
Найдите все функции<i> f </i>:<i> <img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_3.gif"><img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_2.gif"> </i>, которые для всех<i> x,y,z<img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_4.gif"><img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_2.gif"> </i>удовлетворяют неравенству<i> f</i>(<i>x+y</i>)<i>+f</i>(<i>y+z</i>)<i>+f</i>(<i>z+x</i>)<i><img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_5.gif"> </i>3<i>f</i>...
Четырёхугольник <i> ABCD </i> описан около окружности ω. Продолжения сторон <i>AB</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Окружность ω<sub>1</sub> касается стороны <i>BC</i> в точке <i>K</i> и продолжений сторон <i>AB</i> и <i>CD</i>; окружность ω<sub>2</sub> касается стороны <i>AD</i> в точке <i>L</i> и продолжений сторон <i>AB</i> и <i>CD</i>. Известно, что точки <i>O, K</i> и <i>L</i> лежат на одной прямой. Докажите, что середины сторон <i>BC, AD</i> и центр окружности ω лежат на одной прямой.
Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке<i> N </i>. Хорды<i> BA </i>и<i> BC </i>внешней окружности касаются внутренней в точках<i> K </i>и<i> M </i>соответственно. Пусть<i> Q </i>и<i> P </i>– середины дуг<i> AB </i>и<i> BC </i>, не содержащих точку<i> N </i>. Окружности, описанные около треугольников<i> BQK </i>и<i> BPM </i>, пересекаются в точке<i> B</i>1. Докажите, что<i> BPB</i>1<i>Q </i>– параллелограмм.
В остроугольном неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> биссектриса угла между высотами <i>AA</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub> пересекает стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Биссектриса угла <i>B</i> пересекает отрезок, соединяющий ортоцентр <i>H</i> треугольника <i>ABC</i> с серединой <i>M</i> стороны <i>AC</i> в точке <i>R</i>. Докажите, что точки <i>P, B, Q</i> и <i>R</i> лежат на одной окружности.
На медиане <i>CD</i> треугольника <i>ABC</i> отмечена точка <i>E</i>. Окружность <i>S</i><sub>1</sub>, проходящая через точку <i>E</i> и касающаяся прямой <i>AB</i> в точке <i>A</i>, пересекает сторону <i>AC</i> в точке <i>M</i>. Окружность <i>S</i><sub>2</sub>, проходящая через точку <i>E</i> и касающаяся прямой <i>AB</i> в точке <i>B</i>, пересекает сторону <i>BC</i> в точке <i>N</i>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>CMN</i> касается окружностей <i>S</i><sub>1</sub> и <i>S</i><sub>2</sub>.
Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности ω остроугольного треугольника <i>ABC</i>. Окружность ω<sub>1</sub> с центром <i>K</i> проходит через точки <i>A, O</i> и <i>C</i> и пересекает стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Известно, что точки <i>L</i> и <i>K</i> симметричны относительно прямой <i>MN</i>. Докажите, что <i>BL</i> ⊥ <i>AC</i>.
Пусть <i>M</i> – конечное множество чисел. Известно, что среди любых трёх его элементов найдутся два, сумма которых принадлежит <i>M</i>.
Какое наибольшее число элементов может быть в <i>M</i>?