Олимпиадная задача по теории графов: разделение городов на республики, 9–11 класс

  Рассмотрим граф G с вершинами в городах, ребра которого соответствуют дорогам. Докажем, что вершины этого графа можно покрасить в  2N + 2  цвета правильным образом (то есть так, чтобы никакие две вершины одинакового цвета не были соединены ребром). Это равносильно утверждению задачи.

  Выберем по одному ребру в каждом нечётном цикле графа G. Назовём эти ребра плохими, а остальные – хорошими. Удалив из графа G плохие рёбра, мы получим граф, в котором нет циклов нечётной длины.   Лемма. Вершины графа без нечётных циклов можно раскрасить правильным образом в два цвета.

  Доказательство. Достаточно доказать лемму для связного графа. Выберем вершину A и припишем каждой вершине число, равное минимальной длине пути до неё из A. Тогда два одинаковых числа не стоят рядом (иначе есть нечётный цикл). Раскрасив все чётные вершины в один цвет, а нечётные – в другой, получим требуемое.   Таким образом, вершины графа G можно покрасить в два цвета (пусть это цвета a и b) так, что никакие две вершины одного цвета не соединены хорошим ребром.

  Поскольку через каждую вершину графа G проходит не более N нечётных циклов, то из каждой вершины выходит не более N плохих рёбер.

  Следовательно, мы можем раскрасить вершины графа G в  N + 1  цвет так, чтобы никакие две из них не были соединены в графе G плохим ребром. (Будем красить вершины по очереди. Добавляя очередную вершину A, заметим, что среди покрашенных ранее она соединена плохими ребрами не более, чем с N вершинами, следовательно, мы можем покрасить вершину A в цвет, отличный от цветов ранее покрашенных вершин, соединенных с A плохими рёбрами.)

  После этого у всех вершин изменим оттенок на светлый, если в первой раскраске она была покрашена в цвет a, и на тёмный, если она была покрашена в цвет b.

  В полученной раскраске используется  2N + 2  цвета (с учетом оттенков), и никакие две вершины одного цвета не соединены ребром.

Ответ задачи отсутствует