Олимпиадная задача по математике от Дольникова В. Л.: неотрицательные последовательности и геометрические методы

Первое решение. Для1 i j n обозначим через[i,j]отрезок натурального ряда от i до j . Пусть S(i,j)=(a_i+a_i+1+...+a_j) /(j-i+1). Заметим, что из S(i,j)>α и S(j+1,l)>α следует S(i,l)>α .

Выделим в отрезке[1,n]несколько отрезков[p_i, q_i]по следующему принципу: i -й отрезок начинается с минимального числа p такого, что a_p превосходит α и не лежит в ранее построенных отрезках (если такого нет, то построение закончено); заканчивается он таким максимальным q , что при любом j из[p_i, q]среднее чисел от a_pi до a_j превосходит α . По построению p_i+1>q_i+1.

Назовем натуральное число k хорошим} если m_k>α . Докажем, что все хорошие числа лежат в построенных отрезках. Предположим противное и рассмотрим минимальное хорошее k , для которого это не так. Поскольку m_k>α , то найдется l k , для которого S(l,k)>α . Так как любое число вне построенных отрезков не превосходит α , то отрезок[l , k]пересекается с каким-то отрезком[p_j,q_j].

Пусть[p_i, q_i]– самый правый отрезок, лежащий левее k . Если k>q_i+1, то S(q_i+2,k)α , откуда S(l,q_i+1)>α , что противоречит выбору k . Поэтому k=q_i+1. Из принципа выбора отрезков следует, что l p_i (иначе получаем противоречие с выбором q_i ). Если l>p_i , то S(p_i, l-1)>α , откуда S(p_i, q_i+1)>α , чего не может быть. Если же li , то из S(p_i,q_i+1) α следует S(l,p_i-1)>α , т.е. p_i-1– хорошее число, не принадлежащее ни одному из отрезков[p_j,q_j]и меньшее k , что противоречит сделанному предположению.

Таким образом, все хорошие k лежат в построенных отрезках.

Получается, что количество хороших чисел не превосходит (q_i-p_i+1). Учитывая, что по построению отрезков [p_i,q_i]

a_k a_k>α·(q_i-p_i+1), мы получаем утверждение задачи. Второе решение. Пусть b_i=a₁+...+a_i . Ясно, что b₁ b₂ .. b_n . Тогда

=.

Рассмотрим на координатной плоскости точки B₀(0,0), B₁(1,b₁), B₂(2,b₂), B_n(n,b_n). Тогда отношение будет равно тангенсу угла наклона прямой B_lB_k . Значит, условие m_k>α будет равносильно тому, что прямая, проходящая через B_k с углом наклона arctg, α (эту прямую назовем l_k ) будет проходить выше хотя бы одной из точек B_l при l<k (такую точку B_k будем называть хорошей). Выражение будет равно b_n/α , и это будет расстояние между точкой(n,0)и точкой пересечения l_n с осью абсцисс.

Докажем индукцией по количеству точек n , что это расстояние больше числа хороших точек. База очевидна. Если точка B_n не хорошая, то выбросим ее, при этом число хороших точек не изменится, а отрезок уменьшится (так как b_n-1 b_n ). Если же она хорошая, то пусть B_k – ближайшая (по оси абсцисс) точка, лежащая под l_n . Тогда выбросим все точки от B_k+1до B_n (они все хорошие), количество хороших точек уменьшится на n-k , а отрезок – больше, чем на n-k .

Ответ задачи отсутствует