Олимпиадные задачи из источника «38 турнир (2016/2017 год)» для 8 класса

В треугольнике <i>ABC</i> c углом <i>A</i>, равным 45°, проведена медиана <i>AM</i>. Прямая <i>b</i> симметрична прямой <i>AM</i> относительно высоты <i>BB</i>₁, а прямая <i>c</i> симметрична прямой <i>AM</i> относительно высоты <i>CC</i>₁. Прямые <i>b</i> и <i>c</i> пересеклись в точке <i>X</i>. Докажите, что  <i>AX = BC</i>.

Дан треугольник и 10 прямых. Оказалось, что каждая прямая равноудалена от каких-то двух вершин треугольника.

Докажите, что или две из этих прямых параллельны, или три из них пересекаются в одной точке.

Доминошки 1×2 кладут без наложений на шахматную доску 8×8. При этом доминошки могут вылезать за границу доски, но центр каждой доминошки должен лежать строго внутри доски (не на границе). Положите таким образом на доску   а) хотя бы 40 доминошек;   б) хотя бы 41 доминошку;   в) более 41 доминошки.

Кузнечик умеет прыгать по полоске из <i>n</i> клеток на 8, 9 и 10 клеток в любую сторону. Будем называть натуральное число <i>n пропрыгиваемым</i>, если кузнечик может, начав с некоторой клетки, обойти всю полоску, побывав на каждой клетке ровно один раз. Найдите хотя бы одно  <i>n</i> > 50,  которое не является пропрыгиваемым.

Вес каждой гирьки набора – нецелое число грамм. Ими можно уравновесить любой целый вес от 1 г до 40 г (гири кладутся на одну чашку весов, измеряемый вес – на другую). Каково наименьшее число гирь в таком наборе?

В выпуклом шестиугольнике <i>ABCDEF</i> все стороны равны, а также  <i>AD = BE = CF</i>.  Докажите, что в этот шестиугольник можно вписать окружность.

Взяли несколько положительных чисел и построили по ним такую последовательность: <i>a</i>₁ – сумма исходных чисел, <i>a</i>₂ – сумма квадратов исходных чисел, <i>a</i>₃ – сумма кубов исходных чисел, и т.д.

  а) Могло ли случиться, что до <i>a</i>₅ последовательность убывает  (<i>a</i>₁ > <i>a</i>₂ > <i>a</i>₃ > <i>a</i>₄ > <i>a</i>₅),  а начиная с <i>a</i>₅ – возрастает  (<i>a</i>₅ < <i>a...

Можно ли нарисовать на клетчатой бумаге многоугольник и поделить его на две равные части разрезом такой формы, как показано на рисунке

  а) слева;  б) в центре;  в) справа? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/66110/problem_66110_img_2.gif"></div>(Во всех пунктах разрез лежит внутри многоугольника, на границу выходят только концы разреза. Стороны многоугольника и звенья разреза идут по линиям сетки, маленькие звенья в два раза короче больших.)

В шахматном турнире было 10 участников. В каждом туре участники разбивались на пары и в каждой паре играли друг с другом одну игру. В итоге каждый участник сыграл с каждым ровно один раз, причём не меньше чем в половине всех игр участники были земляками (из одного города). Докажите, что в каждом туре хоть одна игра была между земляками.

По кругу стоят 10 детей разного роста. Время от времени один из них перебегает на другое место (между какими-то двумя детьми). Дети хотят как можно скорее встать по росту в порядке возрастания по часовой стрелке (от самого низкого к самому высокому). Какого наименьшего количества таких перебежек им заведомо хватит, как бы они ни стояли изначально?

В каждую клетку квадрата 1000×1000 вписано число так, что в любом не выходящем за пределы квадрата прямоугольнике площади <i>s</i> со сторонами, проходящими по границам клеток, сумма чисел одна и та же. При каких <i>s</i> числа во всех клетках обязательно будут одинаковы?

Даны две концентрические окружности и точка <i>A</i> внутри меньшей из них. Угол величиной α с вершиной в <i>A</i> высекает на этих окружностях по дуге. Докажите, что если дуга большей окружности имеет угловой размер α, то и дуга меньшей имеет угловой размер α.

а) На каждой стороне десятиугольника (не обязательно выпуклого) как на диаметре построили окружность. Может ли оказаться, что все эти окружности имеют общую точку, не совпадающую ни с одной вершиной десятиугольника?

б) Решите ту же задачу для одиннадцатиугольника.

В ряд стоят 100 детей разного роста. Разрешается выбрать любых 50 детей, стоящих подряд, и переставить их между собой как угодно (остальные остаются на своих местах). Как всего за шесть таких перестановок гарантированно построить всех детей по убыванию роста слева направо?

Из вершины <i>A</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> по биссектрисе угла <i>A</i> выпустили бильярдный шарик, который отразился от стороны <i>BC</i> по закону "угол падения равен углу отражения" и дальше катился по прямой, уже ни от чего не отражаясь. Докажите, что если  ∠<i>A</i> = 60°,  то траектория шарика проходит через центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Докажите, что на графике любого квадратного трёхчлена со старшим коэффициентом 1, имеющего ровно один корень, найдётся такая точка  (<i>p, q</i>),  что трёхчлен  <i>x</i>² + <i>px + q</i>  также имеет ровно один корень.

Найдите наименьшее натуральное число, которое начинается (в десятичной записи) на 2016 и делится на 2017.

100 ребятам положили в тарелки по 100 макаронин. Есть ребята не хотели и стали играть. Одним действием кто-то из детей перекладывает из своей тарелки по одной макаронине некоторым (кому хочет) из остальных. После какого наименьшего количества действий у всех в тарелках может оказаться разное количество макаронин?

а) Группа людей прошла опрос, состоящий из 20 вопросов, на каждый из которых возможно два ответа. После опроса оказалось, что для любых 10 вопросов и любой комбинации ответов на эти вопросы существует человек, давший именно эти ответы на эти вопросы. Обязательно ли найдутся два человека, у которых ответы ни на один вопрос не совпали?

б) Решите ту же задачу, если на каждый вопрос есть 12 вариантов ответа.

Дан правильный 2<i>n</i>-угольник <i>A</i>₁<i>A</i>₁...<i>A</i>_2<i>n</i> с центром <i>O</i>, причём  <i>n</i> ≥ 5.  Диагонали <i>A</i>₂<i>A</i>_<i>n</i>–1 и <i>A</i>₃<i>A_n</i> пересекаются в точке <i>F</i>, а <i>A</i>₁<i>A</i>₃ и <i>A</i>₂<i>A</i>_{2<i>n</i>–2} – в точке <i>P</i>.

Докажите, что  <i>PF = PO</i&g...

На трёх красных и трёх синих карточках написаны шесть положительных чисел, все они различны. Известно, что на карточках какого-то одного цвета написаны попарные суммы каких-то трёх чисел, а на карточках другого цвета – попарные произведения тех же трёх чисел. Всегда ли можно гарантированно определить эти три числа?

Квадратная коробка конфет разбита на 49 равных квадратных ячеек. В каждой ячейке лежит шоколадная конфета – либо чёрная, либо белая. За один присест Саша может съесть две конфеты, если они одного цвета и лежат в соседних по стороне или по углу ячейках. Какое наибольшее количество конфет гарантированно может съесть Саша, как бы ни лежали конфеты в коробке?

Произвольный треугольник разрезали на равные треугольники прямыми, параллельными сторонам (как показано на рисунке).

Докажите, что ортоцентры шести закрашенных треугольников лежат на одной окружности. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65872/problem_65872_img_2.gif"></div>

В каждой клетке доски 8×8 написали по одному натуральному числу. Оказалось, что при любом разрезании доски на доминошки суммы чисел во всех доминошках будут разные. Может ли оказаться, что наибольшее записанное на доске число не больше 32?

Десяти ребятам положили в тарелки по 100 макаронин. Есть ребята не хотели и стали играть. Одним действием кто-то из детей перекладывает из своей тарелки по одной макаронине всем другим детям. После какого наименьшего количества действий у всех в тарелках может оказаться разное количество макаронин?