Олимпиадные задачи по математике
Раскраска вершин графа называется <i>правильной</i>, если вершины одного цвета не соединены ребром. Некоторый граф правильно раскрашен в <i>k</i> цветов, причём его нельзя правильно раскрасить в меньшее число цветов. Докажите, что в этом графе существует путь, вдоль которого встречаются вершины всех <i>k</i> цветов ровно по одному разу.
Рассматриваются такие наборы действительных чисел {<i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, <i>x</i><sub>3</sub>, ..., <i>x</i><sub>20</sub>}, заключённых между 0 и 1, что <i>x</i><sub>1</sub><i>x</i><sub>2</sub><i>x</i><sub>3</sub>...<i>x</i><sub>20</sub> = (1 – <i>x</i><sub>1</sub>)(1 – <i>x</i><sub>2</sub>)(1 – <i>x</i><sub>3</sub>)...(1 – <i>x</i><sub>20</sub>). Найдите среди этих наборов такой, для которого значение <i>x</i><sub>1</sub><i>x</i><sub>2<...
Петя и Вася нашли 100 кубиков одинакового размера, 50 из них были белого цвета и 50 – чёрного. Они придумали игру. Назовём башенкой один или несколько кубиков, стоящих друг на друге. В начале игры все кубики лежат по одному, то есть имеется 100 башенок. За один ход игрок должен одну из башенок поставить на другую (переворачивать башенки нельзя), при этом в новой башенке не должно быть подряд двух одинаковых по цвету кубиков. Ходят по очереди, начинает Петя. Кто не может сделать ход – проиграл. Кто может обеспечить себе победу, как бы ни играл его соперник?
На клетчатой доске лежат доминошки, не касаясь даже углами. Каждая доминошка занимает две соседние (по стороне) клетки доски. Нижняя левая и правая верхняя клетки доски свободны. Всегда ли можно пройти из левой нижней клетки в правую верхнюю, делая ходы только вверх и вправо на соседние по стороне клетки и не наступая на доминошки, если доска имеет размеры а) $100\times101$ клеток; б) $100\times100$ клеток?
Можно ли разрезать по границам клеток фигуру на рисунке на 4 одинаковые части? <img src="/storage/problem-media/66620/problem_66620_img_2.png">
100 ребятам положили в тарелки по 100 макаронин. Есть ребята не хотели и стали играть. Одним действием кто-то из детей перекладывает из своей тарелки по одной макаронине некоторым (кому хочет) из остальных. После какого наименьшего количества действий у всех в тарелках может оказаться разное количество макаронин?
В каждой клетке доски 8×8 написали по одному натуральному числу. Оказалось, что при любом разрезании доски на доминошки суммы чисел во всех доминошках будут разные. Может ли оказаться, что наибольшее записанное на доске число не больше 32?
Десяти ребятам положили в тарелки по 100 макаронин. Есть ребята не хотели и стали играть. Одним действием кто-то из детей перекладывает из своей тарелки по одной макаронине всем другим детям. После какого наименьшего количества действий у всех в тарелках может оказаться разное количество макаронин?