Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс»

Графики двух квадратных трёхчленов пересекаются в двух точках. В обеих точках касательные к графикам перпендикулярны.

Верно ли, что оси симметрии графиков совпадают?

По кругу стоят 10 детей разного роста. Время от времени один из них перебегает на другое место (между какими-то двумя детьми). Дети хотят как можно скорее встать по росту в порядке возрастания по часовой стрелке (от самого низкого к самому высокому). Какого наименьшего количества таких перебежек им заведомо хватит, как бы они ни стояли изначально?

В каждую клетку квадрата 1000×1000 вписано число так, что в любом не выходящем за пределы квадрата прямоугольнике площади <i>s</i> со сторонами, проходящими по границам клеток, сумма чисел одна и та же. При каких <i>s</i> числа во всех клетках обязательно будут одинаковы?

Даны две концентрические окружности и точка <i>A</i> внутри меньшей из них. Угол величиной α с вершиной в <i>A</i> высекает на этих окружностях по дуге. Докажите, что если дуга большей окружности имеет угловой размер α, то и дуга меньшей имеет угловой размер α.

Дан правильный 12-угольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>₁₂.

Можно ли из 12 векторов  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66104/problem_66104_img_2.gif">  выбрать семь, сумма которых равна нулевому вектору?