Олимпиадные задачи из источника «27 турнир (2005/2006 год)» для 10 класса - сложность 2 с решениями

Докажите, что любая натуральная степень многочлена  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>⁴ + <i>x</i>³ – 3<i>x</i>² + <i>x</i> + 2  имеет хотя бы один отрицательный коэффициент.

Дан выпуклый 100-угольник. Докажите, что можно отметить такие 50 точек внутри этого многоугольника, что каждая вершина будет лежать на прямой, проходящей через какие-то две из отмеченных точек.

Докажите, что можно найти такие 100 пар целых чисел так, что в десятичной записи каждого числа все цифры не меньше 6 и произведение чисел каждой пары – тоже число, где все цифры не меньше 6.

Бильярдный стол имеет вид прямоугольника 2×1, в углах и на серединах больших сторон которого расположены лузы. Какое наименьшее число шаров надо расположить внутри прямоугольника, чтобы каждая луза находилась на одной линии с некоторыми двумя шарами?

У Пети есть <i>n</i>³ белых кубиков 1×1×1. Он хочет сложить из них куб <i>n</i>×<i>n</i>×<i>n</i>, снаружи полностью белый. Какое наименьшее число граней кубиков должен закрасить Вася, чтобы помешать Пете? Решите задачу при   a)  <i>n</i> = 3;   б)  <i>n</i> = 1000.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> – вписанный,  <i>AB = AD</i>. На стороне <i>BC</i> взята точка <i>M</i>, а на стороне <i>CD</i> – точка <i>N</i> так, что угол <i>MAN</i> равен половине угла <i>BAD</i>.

Докажите, что  <i>MN = BM + ND</i>.

Известно, что число <i>a</i> положительно, а неравенство  10 < <i>a^x</i> < 100  имеет ровно пять решений в натуральных числах.

Сколько таких решений может иметь неравенство  100 < <i>a^x</i> < 1000?

Найдутся ли такие функции <i>p</i>(<i>x</i>) и <i>q</i>(<i>x</i>), что <i>p</i>(<i>x</i>) – чётная функция, а <i>p</i>(<i>q</i>(<i>x</i>)) – нечётная функция (отличная от тождественно нулевой)?

Имеется выпуклый многогранник со 100 рёбрами. Все его вершины срезали плоскостями-ножами близко от самих вершин (то есть так, чтобы плоскости-ножи не пересекались друг с другом внутри или на границе многогранника). Найдите у полученного многогранника

  a) число вершин;

  б) число рёбер.

У Пети есть <i>n</i>³ белых кубиков 1×1×1. Он хочет сложить из них куб <i>n</i>×<i>n</i>×<i>n</i>, снаружи полностью белый. Какое наименьшее число граней кубиков должен закрасить Вася, чтобы помешать Пете? Решите задачу при   a)  <i>n</i> = 2;   б)  <i>n</i> = 3.

Известно, что число <i>a</i> положительно, а неравенство  1 < <i>xa</i> < 2  имеет ровно три решения в целых числах.

Сколько решений в целых числах может иметь неравенство  2 < <i>xa</i> < 3 ?

В клетках первого столбца таблицы <i>n</i>&times<i>n</i> записаны единицы, в клетках второго – двойки, ..., в клетках <i>n</i>-го – числа <i>n</i>. Числа на диагонали, соединяющей левое верхнее число с правым нижним, стёрли. Докажите, что суммы чисел по разные стороны от этой диагонали отличаются ровно в два раза.

В треугольнике <i>ABC</i>  ∠<i>A</i> = 60°.  Серединный перпендикуляр к стороне <i>AB</i> пересекает прямую <i>AC</i> в точке <i>N</i>. Серединный перпендикуляр к стороне <i>AC</i> пересекает прямую <i>AB</i> в точке <i>M</i>. Докажите, что  <i>CB = MN</i>.

При каких натуральных  <i>n</i> > 1  найдутся такие различные натуральные числа <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_n</i>, что сумма   ^<i>a</i>₁/_<i>a</i>₂ + ^<i>a</i>₂/_<i>a</i>₃ + ^<i>a_n</i>/_<i>a</i>₁   – целое число?

На плоскости лежал куб. Его перекатили несколько раз (через рёбра) так, что куб снова оказался на исходном месте той же гранью вверх.

Могла ли при этом верхняя грань повернуться на 90° относительно своего начального положения?

На сторонах прямоугольного треугольника <i>ABC</i> построены во внешнюю сторону квадраты с центрами <i>D, E, F</i>.

Докажите, что отношение  <i>S_DEF</i> : <i>S_ABC</i>   а) больше 1;   б) не меньше 2.

Дан отрезок длины  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65819/problem_65819_img_2.gif">  Можно ли построить циркулем и линейкой (на которой нет делений) отрезок длины 1?

Можно ли уместить два точных куба между соседними точными квадратами?

Иными словами, имеет ли решение в целых числах неравенство:  <i>n</i>² < <i>a</i>³ < <i>b</i>³ < (<i>n</i> + 1)²?