Олимпиадные задачи из источника «18 турнир (1996/1997 год)» - сложность 1-2 с решениями

В треугольнике <i>ABC</i> проведены биссектрисы <i>AD</i> и <i>BE</i>. Известно, что <i>DE</i> – биссектриса угла <i>ADC</i>. Найдите величину угла <i>A</i>.

В треугольнике одна сторона в три раза меньше суммы двух других. Докажите, что против этой стороны лежит наименьший угол треугольника.

Около правильного тетраэдра <i>ABCD</i> описана сфера. На его гранях как на основаниях построены во внешнюю сторону правильные пирамиды <i>ABCD', ABDC', ACDB', BCDA'</i>, вершины которых лежат на этой сфере. Найдите угол между плоскостями <i>ABC'</i> и <i>ACD'</i>.

Центр круга – точка с декартовыми координатами  (<i>a, b</i>).  Известно, что начало координат лежит внутри круга. Обозначим через <i>S</i>⁺ общую площадь частей круга, состоящих из точек, обе координаты которых имеют одинаковый знак; а через <i>S</i>^– – площадь частей, состоящих из точек с координатами разных знаков. Найдите величину  <i>S</i>⁺ – <i>S</i>^–.

<i>a</i> и <i>b</i> – натуральные числа. Известно, что  <i>a</i>² + <i>b</i>²  делится на <i>ab</i>. Докажите, что  <i>a = b</i>.

Куб разрезали на 99 кубиков, из которых ровно у одного ребро имеет длину, отличную от 1 (у каждого из остальных ребро равно 1).

Найдите объём исходного куба.

Докажите, что число

  а)  97⁹⁷,

  б)  1997¹⁷

нельзя представить в виде суммы кубов нескольких идущих подряд натуральных чисел.

Имеется 25 кусков сыра разного веса. Всегда ли можно один из этих кусков разрезать на две части и разложить сыр в два пакета так, что части разрезанного куска окажутся в разных пакетах, веса пакетов будут одинаковы и число кусков в пакетах также будет одинаково?

В параллелограмме <i>ABCD</i> точка <i>E</i> – середина <i>AD</i>. Точка <i>F</i> – основание перпендикуляра, опущенного из <i>B</i> на прямую <i>CE</i>.

Докажите, что треугольник <i>ABF</i> – равнобедренный.

Квадрат разрезали на 25 квадратиков, из которых ровно у одного сторона имеет длину, отличную от 1 (у каждого из остальных сторона равна 1).

Найдите площадь исходного квадрата.

<i>F</i> – выпуклая фигура с двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии. Через точку <i>M</i>, лежащую внутри фигуры и отстоящую от осей на расстояния <i>a</i> и <i>b</i>, провели прямые, параллельные осям. Эти прямые делят <i>F</i> на четыре области. Найдите разность между суммой площадей большей и меньшей из областей и суммой площадей двух других.

Барон Мюнхаузен утверждает, что пустил шар от борта бильярда, имеющего форму правильного треугольника, так, что тот, отражаясь от бортов, прошёл через некоторую точку три раза в трёх различных направлениях и вернулся в исходную точку. Могут ли слова барона быть правдой? (Отражение шара от борта происходит по закону "угол падения равен углу отражения".)

Сколько целых чисел от 1 до 1997 имеют сумму цифр, делящуюся на 5?

Пусть <i>A', B', C', D', E', F'</i> – середины сторон <i>AB, BC, CD, DE, EF, FA</i> произвольного выпуклого шестиугольника <i>ABCDEF</i>. Известны площади треугольников <i>ABC', BCD', CDE', DEF', EFA', FAB'</i>. Найдите площадь шестиугольника <i>ABCDEF</i>.

Можно ли покрасить четыре вершины куба в красный цвет и четыре другие – в синий так, чтобы плоскость, проходящая через любые три точки одного цвета, содержала точку другого цвета?

При каком  <i>n</i> > 1  может случиться так, что в компании из  <i>n</i> + 1  девочек и <i>n</i> мальчиков все девочки знакомы с разным числом мальчиков, а все мальчики – с одним и тем же числом девочек?

Можно ли бумажный круг с помощью ножниц перекроить в квадрат той же площади? (Разрешается сделать конечное число разрезов по прямым линиям и дугам окружностей.)

Найдите геометрическое место точек, лежащих внутри куба и равноудалённых от трёх скрещивающихся рёбер  <i>a, b, c</i>  этого куба.

Существуют ли три таких различных простых числа <i>p, q, r</i>, что  <i>p</i>² + <i>d</i>  делится на <i>qr,  q</i>² + <i>d</i>  делится на <i>rp,  r</i>² + <i>d</i>  делится на <i>pq</i>, если

  а)  <i>d</i> = 10,

  б)  <i>d</i> =11?

Можно ли нарисовать на плоскости четыре красных и четыре чёрных точки так, чтобы для каждой тройки точек одного цвета нашлась такая точка другого цвета, что эти четыре точки являются вершинами параллелограмма?

Окружность пересекает каждую сторону ромба в двух точках и делит её на три отрезка. Обойдём контур ромба, начав с какой-нибудь вершины, по часовой стрелке, и покрасим три отрезка каждой стороны последовательно в красный, белый и синий цвета. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих.

а) Может ли случиться, что в компании из 10 девочек и 9 мальчиков все девочки знакомы с разным числом мальчиков, а все мальчики – с одним и тем же числом девочек?

б) А если девочек 11, а мальчиков 10?

При каких целых значениях <i>n</i> правильный треугольник со стороной <i>n</i> можно замостить плитками, имеющими форму равнобочной трапеции со сторонами 1, 1, 1, 2?

Можно ли найти десять таких последовательных натуральных чисел, что сумма их квадратов равна сумме квадратов следующих за ними девяти последовательных натуральных чисел?