Олимпиадная задача по теории чисел: делимость квадратов простых чисел 7–9 класс
Задача
Существуют ли три таких различных простых числа p, q, r, что p² + d делится на qr, q² + d делится на rp, r² + d делится на pq, если
а) d = 10,
б) d =11?
Решение
а) Докажем от противного, что таких чисел нет. Предположим, что они существуют. Можно считать, что p < q < r. Нечётное число q² + 10 должно делиться наpr, следовательно,pнечётно (то есть не равно 2). Значит, q ≥ p+ 2, r ≥ p+ 4 и qr≥ (p+ 2)(p+ 4) =p² + 6p+ 8 >p² + 10. Поэтому p² + 10 не делится наqr.б) Например, 2, 3, 5.
Ответ
а) Не существуют. б) Существуют.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет