Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, основной вариант, 8-9 класс»
весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
НазадТочка <i>P</i> лежит внутри равнобедренного треугольника <i>ABC</i> (<i>AB = BC </i>), причём ∠<i>ABC</i> = 80°, ∠<i>PAC</i> = 40°, ∠<i>ACP</i> = 30°. Найдите угол <i>BPC</i>.
В треугольнике одна сторона в три раза меньше суммы двух других. Докажите, что против этой стороны лежит наименьший угол треугольника.
2<i>n</i> шахматистов дважды провели круговой турнир (за победу начисляется одно очко, за ничью – ½, за поражение – 0).
Докажите, что если сумма очков каждого изменилась не менее чем на <i>n</i>, то она изменилась ровно на <i>n</i>.
В выпуклом шестиугольнике <i>AC</i><sub>1</sub><i>BA</i><sub>1</sub><i>CB</i><sub>1</sub> <i>AB</i><sub>1</sub> = <i>AC</i><sub>1</sub>, <i>BC</i><sub>1</sub> = <i>BA</i><sub>1</sub>, <i>CA</i><sub>1</sub> = <i>CB</i><sub>1</sub> и ∠<i>A</i> + ∠<i>B</i> + ∠<i>C</i> = ∠<i>A</i><sub>1</sub> + ∠<i>B</i><sub>1</sub> + ∠<i>C</i><sub>1</sub>.
Докажите, что площадь треугольника <i>ABC</i> равна половине площади шестиугольника.
Имеется набор гирь, веса которых в граммах: 1, 2, 4,... , 512 (последовательные степени двойки) – по одной гире каждого веса. Груз разрешается взвешивать с помощью этого набора, кладя гири на обе чашки весов.
а) Докажите, что никакой груз нельзя взвесить этими гирями более чем 89 способами.
б) Приведите пример груза, который можно взвесить ровно 89 способами.
Докажите, что число
а) 97<sup>97</sup>,
б) 1997<sup>17</sup>
нельзя представить в виде суммы кубов нескольких идущих подряд натуральных чисел.
Имеется 25 кусков сыра разного веса. Всегда ли можно один из этих кусков разрезать на две части и разложить сыр в два пакета так, что части разрезанного куска окажутся в разных пакетах, веса пакетов будут одинаковы и число кусков в пакетах также будет одинаково?