Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс»

В параллелограмме <i>ABCD</i> точка <i>E</i> – середина <i>AD</i>. Точка <i>F</i> – основание перпендикуляра, опущенного из <i>B</i> на прямую <i>CE</i>.

Докажите, что треугольник <i>ABF</i> – равнобедренный.

Квадрат разрезали на 25 квадратиков, из которых ровно у одного сторона имеет длину, отличную от 1 (у каждого из остальных сторона равна 1).

Найдите площадь исходного квадрата.

<i>F</i> – выпуклая фигура с двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии. Через точку <i>M</i>, лежащую внутри фигуры и отстоящую от осей на расстояния <i>a</i> и <i>b</i>, провели прямые, параллельные осям. Эти прямые делят <i>F</i> на четыре области. Найдите разность между суммой площадей большей и меньшей из областей и суммой площадей двух других.

Барон Мюнхаузен утверждает, что пустил шар от борта бильярда, имеющего форму правильного треугольника, так, что тот, отражаясь от бортов, прошёл через некоторую точку три раза в трёх различных направлениях и вернулся в исходную точку. Могут ли слова барона быть правдой? (Отражение шара от борта происходит по закону "угол падения равен углу отражения".)

Сколько целых чисел от 1 до 1997 имеют сумму цифр, делящуюся на 5?