Олимпиадная задача по планиметрии для 10–11 класса: площадь шестиугольника по треугольникам
Задача
Пусть A', B', C', D', E', F' – середины сторон AB, BC, CD, DE, EF, FA произвольного выпуклого шестиугольника ABCDEF. Известны площади треугольников ABC', BCD', CDE', DEF', EFA', FAB'. Найдите площадь шестиугольника ABCDEF.
Решение
Опустим из точек C, C', D перпендикуляры CK, C'L, DM на AB. Заметим, что C'L = ½ (CK + DM) как средняя линия трапеции KCDM. Рассматривая треугольники ABC, ABC', ABD с общим основанием AB и высотами соответственно CK, C'L, DM, получим отсюда соотношение 2SABC' = SABC + SABD. Напишем аналогичные соотношения для всех указанных в условии треугольников и сложим их:
2·(SABC' + SBCD' + SCDE' + SDEF' + SEFA' + SFAB') = SABC + SABD + SBCD + SBCE + SCDE + SCDF + SDEF + SDEA + SEFA + SEFB + SFAB + SFAC =
= (SABC + SFAC + SCDF + SDEF) + (SBCD + SABD + SDEA + SEFA) + (SCDE + SBCE + SEFB + SFAB) = 3SABCDEF (треугольники в каждой скобке полностью покрывают шестиугольник).
Ответ
⅔ суммы площадей указанных треугольников.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь