Олимпиадные задачи из источника «10 турнир (1988/1989 год)» для 8 класса - сложность 2 с решениями
10 турнир (1988/1989 год)
НазадИзвестно, что в трапецию можно вписать окружность.
Докажите, что окружности, построенные на боковых сторонах трапеции как на диаметрах, касаются друг друга. <small>Также доступны документы в формате TeX</small>
В треугольнике <i>ABC</i> проведена медиана <i>AM</i>.
Может ли радиус вписанной окружности треугольника <i>ABM</i> быть ровно в два раза больше радиуса вписанной окружности треугольника <i>ACM</i>?
Внутри квадрата <i>ABCD</i> выбрана такая точка <i>M</i>, что ∠<i>MAC</i> = ∠<i>MCD</i> = α. Найдите величину угла <i>ABM</i>.
В треугольнике две высоты не меньше сторон, на которые они опущены. Найдите углы треугольника.
Лестница имеет 100 ступенек. Коля хочет спуститься по лестнице, при этом он двигается начиная сверху прыжками вниз и вверх по очереди. Прыжки бывают трёх типов – на шесть ступенек (через пять на шестую), на семь и на восемь. Два раза на одну ступеньку Коля не становится. Сможет ли он спуститься?
Даны 1000 линейных функций: <i>f<sub>k</sub></i>(<i>x</i>) = <i>p<sub>k</sub>x + q<sub>k</sub></i> (<i>k</i> = 1, 2, ..., 1000). Нужно найти значение их композиции <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>f</i><sub>1</sub>(<i>f</i><sub>2</sub>(<i>f</i><sub>3</sub>(...<i>f</i><sub>1000</sub>(<i>x</i>)...))) в точке <i>x</i><sub>0</sub>. Докажите, что это можно сделать не более чем за 30 стадий, если на каждой стадии можно параллельно выполнять любое число арифметических операций над парами чисел, полученных на предыдущих стадиях, а на первой стадии используются числа...
Найти два шестизначных числа такие, что если их приписать друг к другу, то полученное двенадцатизначное число делится на произведение двух исходных чисел. Найти все такие пары чисел.
Можно ли провести в каждом квадратике на поверхности кубика Рубика диагональ так, чтобы получился несамопересекающийся путь?
Найти шесть различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых делится на сумму этих двух чисел.
Положительные числа <i>a, b, c, d</i> таковы, что <i>a ≤ b ≤ c ≤ d</i> и <i>a + b + c + d</i> ≥ 1. Докажите, что <i>a</i>² + 3<i>b</i>² + 5<i>c</i>² + 7<i>d</i>² ≥ 1.
Можно ли нарисовать на поверхности кубика Рубика такой замкнутый путь, который проходит через каждый квадратик ровно один раз (через вершины квадратиков путь не проходит)?
Какую цифру надо поставить вместо знака "?" в числе 888...88?99...999 (восьмёрка и девятка написаны по 50 раз), чтобы оно делилось на 7?
Положительные числа <i>a, b, c</i> таковы, что <i>a ≥ b ≥ c</i> и <i>a + b + c</i> ≤ 1. Докажите, что <i>a</i>² + 3<i>b</i>² + 5<i>c</i>² ≤ 1.
Докажите, что <i>a</i>²<i>pq + b</i>²<i>qr + c</i>²<i>rp</i> ≤ 0, если <i>a, b, c</i> – стороны треугольника; а <i>p, q, r</i> – любые числа, удовлетворяющие условию <i>p + q + r</i> = 0.
Какое наименьшее количество клеток нужно отметить на шахматной доске, чтобы
1) среди отмеченных клеток не было соседних (имеющих общую сторону или общую вершину),
2) добавление к этим клеткам любой одной клетки нарушало пункт 1?
Тетрадный лист раскрасили в 23 цвета по клеткам. Пара цветов называется хорошей, если существует две соседние клетки, закрашенные этими цветами. Каково минимальное число хороших пар?
Существует ли степень двойки, из которой перестановкой цифр можно получить другую степень двойки?
В каждой вершине куба стоит число +1 или –1. В центре каждой грани куба поставлено число, равное произведению чисел в вершинах этой грани.
Может ли сумма получившихся 14 чисел оказаться равной 0?
Высоты треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>H</i>. Докажите, что радиусы окружностей, описанных около треугольников <i>ABC</i>, <i>AHB</i>, <i>BHC</i> и <i>AHC</i>, равны между собой.