Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, тренировочный вариант, 9-10 класс»

Тетрадный лист раскрасили в 23 цвета по клеткам. Пара цветов называется хорошей, если существует две соседние клетки, закрашенные этими цветами. Каково минимальное число хороших пар?

Доказать, что в вершинах многогранника можно расставить натуральные числа так, что в каждых двух вершинах, соединённых ребром, стоят числа не взаимно простые, а в каждых двух вершинах, не соединённых ребром, взаимно простые.

<i>Примечание</i>: простых чисел бесконечно много.

Существует ли степень двойки, из которой перестановкой цифр можно получить другую степень двойки?

Высоты треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>H</i>. Докажите, что радиусы окружностей, описанных около треугольников <i>ABC</i>, <i>AHB</i>, <i>BHC</i> и <i>AHC</i>, равны между собой.