Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, основной вариант, 9-10 класс»

Внутри треугольника <i>ABC</i> взята такая точка <i>M</i>, что  ∠<i>BMC</i> = 90° + ½ ∠<i>BAC</i>  и прямая <i>AM</i> содержит центр <i>O</i> описанной окружности треугольника <i>BMC</i>. Докажите, что точка <i>M</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Дан 101 прямоугольник с целыми сторонами, не превышающими 100.

Докажите, что среди них найдутся три прямоугольника <i>A, B, C</i>, которые можно поместить друг в друга (так что  <i>A</i> ⊂ <i>B</i> ⊂ <i>C</i>).

На плоскости дано <i>N</i> прямых  (<i>N</i> > 1),  никакие три из которых не пересекаются в одной точке и никакие две не параллельны. Докажите, что в частях, на которые эти прямые разбивают плоскость, можно расставить ненулевые целые числа, по модулю не превосходящие <i>N</i>, так, что суммы чисел по любую сторону от любой из данных прямых равны нулю.

В кооперативе из 11 человек имеется партячейка. На каждом собрании ячейки происходит либо приём одного члена в партию, либо исключение из партии одного человека. В партячейке не может быть меньше трёх человек. Возвращаться к какому-либо из прежних составов партячейки запрещено уставом. Может ли к какому-то моменту оказаться, что все варианты состава ячейки реализованы?  

Даны 1000 линейных функций:  <i>f_k</i>(<i>x</i>) = <i>p_kx + q_k</i>  (<i>k</i> = 1, 2, ..., 1000).  Нужно найти значение их композиции  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>f</i>₁(<i>f</i>₂(<i>f</i>₃(...<i>f</i>₁₀₀₀(<i>x</i>)...)))  в точке <i>x</i>₀. Докажите, что это можно сделать не более чем за 30 стадий, если на каждой стадии можно параллельно выполнять любое число арифметических операций над парами чисел, полученных на предыдущих стадиях, а на первой стадии используются числа...

Найти два шестизначных числа такие, что если их приписать друг к другу, то полученное двенадцатизначное число делится на произведение двух исходных чисел. Найти все такие пары чисел.