Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 7-8 класс»

Внутри квадрата <i>ABCD</i> выбрана такая точка <i>M</i>, что  ∠<i>MAC</i> = ∠<i>MCD</i> = α.  Найдите величину угла <i>ABM</i>.

Существует ли такое натуральное число <i>M</i>, что никакое натуральное число, десятичная запись которого состоит лишь из нулей и не более чем 1988 единиц, не делится на <i>M</i>?

Выпуклый <i>n</i>-угольник разрезан непересекающимися диагоналями на треугольники. Разрешается проделывать следующее преобразование (<i>перестройку</i>): взяв пару треугольников <i>ABD</i> и <i>BCD</i> с общей стороной, заменить их на треугольники <i>ABC</i> и <i>ACD</i>. Пусть <i>P</i>(<i>n</i>) – наименьшее число перестроек, за которое можно перевести каждое разбиение в любое. Докажите, что

  а)  <i>P</i>(<i>n</i>) ≥ <i>n</i> – 3;

  б)  <i>P</i>(<i>n</i>) ≤ 2<i>n</i> – 7;

  в)  <i>P</i>(<i>n</i>) ≤ 2<i>n</i> – 10  при  <i>n</i> ≥ 13.

а) Даны две одинаковые шестерёнки с 14 зубьями каждая. Их наложили друг на друга так, что зубья совпали (так что проекция на плоскость выглядит как одна шестерёнка). После этого четыре пары совпадающих зубьев выпилили. Всегда ли можно повернуть эти шестерёнки друг относительно друга так, чтобы проекция на плоскость выглядела как одна целая шестерёнка? (Шестерёнки можно поворачивать, но нельзя переворачивать.) б) Тот же вопрос про две шестерёнки с 13 зубьями, из которых выпилили по 4 зуба.

Числа  1, 2, 3, ..., <i>n</i>  записываются в некотором порядке:  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ..., <i>a_n</i>.  Берётся сумма  <i>S</i> = ^<i>a</i>₁/₁ + ^<i>a</i>₂/₂ + ... + ^<i>a_n</i>/_<i>n</i>.  Найдите такое <i>n</i>, чтобы среди таких сумм (при всевозможных перестановках  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂,...

В каждой вершине куба стоит число +1 или –1. В центре каждой грани куба поставлено число, равное произведению чисел в вершинах этой грани.

Может ли сумма получившихся 14 чисел оказаться равной 0?