Олимпиадная задача по стереометрии и инвариантам для 7–10 классов от Гальперина Г. А.

Решение 1:   Произведение всех 14 чисел равно четвёртой степени произведения чисел в вершинах и потому положительно. Следовательно, среди 14 чисел чётное количество минус единиц, а их сумма равна 0, только когда минус единиц ровно 7.

Решение 2:   Заметим, что изменив знак одного числа в вершине мы, изменяем знак чисел, стоящих в центрах трёх граней. Так как старая сумма четырёх изменившихся чисел чётна, то сумма всех чисел изменится на число, кратное 4 (на 0, 4 или 8).

  Если в каждой вершине куба стоит единица, то и в центре каждой грани стоит 1, и сумма всех чисел равна 14. Таким образом, при любых изменениях знаков чисел в вершинах сумма всех чисел не будет делиться на 4, в частности, не может быть равна нулю.

Не может.