Олимпиадные задачи из источника «XI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2015 г.)» для 11 класса - сложность 2-3 с решениями

Дан тетраэдр <i>ABCD</i>. В грани <i>ABC</i> и <i>ABD</i> вписаны окружности с центрами <i>O</i>₁, <i>O</i>₂, касающиеся ребра <i>AB</i> в точках <i>T</i>₁, <i>T</i>₂. Плоскость π_<i>AB</i> проходит через середину отрезка <i>T</i>₁<i>T</i>₂ и перпендикулярна <i>O</i>₁<i>O</i>₂. Аналогично определяются плоскости π_<i>AC</i>, π_<i>BC</i>, π<sub><i>AD</i&g...

Грани икосаэдра окрасили в пять цветов (среди которых есть красный и синий) так, что две грани, окрашенные в один цвет, не имеют общих точек, даже вершин. Докажите, что для любой точки внутри икосаэдра сумма расстояний от нее до красных граней равна сумме расстояний до синих граней.

Даны окружность и лежащий внутри неё эллипс с фокусом <i>C</i>.

Найдите геометрическое место центров описанных окружностей треугольников <i>ABC</i>, где <i>AB</i> – хорда окружности, касающаяся эллипса.

Пусть <i>AL</i> и <i>AK</i> – внутренняя и внешняя биссектрисы треугольника <i>ABC,  P</i> – точка пересечения касательных к описанной окружности в точках <i>B</i> и <i>C</i>. Перпендикуляр, восставленный из точки <i>L</i> к <i>BC</i>, пересекает прямую <i>AP</i> в точке <i>Q</i>. Докажите, что <i>Q</i> лежит на средней линии треугольника <i>LKP</i>.

В окружность вписан шестиугольник <i>ABCDEF.  K, L, M, N</i> – точки пересечения пар прямых <i>AB</i> и <i>CD, AC</i> и <i>BD, AF</i> и <i>DE, AE</i> и <i>DF</i>.

Докажите, что если три из этих точек лежат на одной прямой, то и четвёртая точка лежит на этой прямой.

Дан треугольник <i>ABC,  O</i> – центр его описанной окружности. Проекции точек <i>D</i> и <i>X</i> на стороны треугольника лежат на прямых <i>l</i> и <i>L</i>, причём <i>l || XO</i>.  Докажите, что прямая <i>L</i> образует равные углы с прямыми <i>AB</i> и <i>CD</i>.

Дан неравнобедренный остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Точки <i>A</i>₁, <i>A</i>₂ симметричны основаниям внутренней и внешней биссектрис угла <i>A</i> относительно середины стороны <i>BC</i>. На отрезке <i>A</i>₁<i>A</i>₂ как на диаметре построена окружность α. Аналогично определяются окружности β и γ. Докажите, что эти три окружности пересекаются в двух точках.

Сколько (максимум) кругов можно расположить на плоскости так, чтобы каждые два из них пересекались, а никакие три – нет?

Можно ли разрезать какой-нибудь прямоугольник на правильный шестиугольник со стороной 1 и несколько равных прямоугольных треугольников с катетами 1 и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65383/problem_65383_img_2.png">?

Четырёхугольная пирамида <i>SABCD</i> вписана в сферу. Из вершин <i>A, B, C, D</i> опущены перпендикуляры <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁, <i>CC</i>₁, <i>DD</i>₁ на прямые <i>SC, SD, SA, SB</i> соответственно. Оказалось, что точки <i>S, A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁, <i>D</i>₁ различны и лежат на одной сфере. Докажите, что точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁, <i>D</i><s...

Пусть <i>H</i> и <i>O</i> – ортоцентр и центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Описанная окружность треугольника <i>AOH</i>, пересекает серединный перпендикуляр к <i>BC</i> в точке <i>A</i>₁. Аналогично определяются точки <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁. Докажите, что прямые <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ пересекаются в одной точке.

В прямоугольном неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> точка <i>M</i> – середина гипотенузы <i>AC</i>, точки <i>H_a</i>, <i>H_c</i> – ортоцентры треугольников <i>ABM, CBM</i> соответственно, прямые <i>AH_c, CH_a</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Докажите, что  ∠<i>MBK</i> = 90°.

В треугольнике <i>ABC</i> точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ – середины сторон <i>BC</i>, <i>CA</i> и <i>AB</i> соответственно. Точки <i>B</i>₂ и <i>C</i>₂ – середины отрезков <i>BA</i>₁ и <i>CA</i>₁ соответственно. Точка <i>B</i>₃ симметрична <i>C</i>₁ относительно <i>B</i>, а точка <i>C</i>₃ симметрична <i>B</i>₁ относительно <i>C</i>....

Докажите, что всякий треугольник площади 1 можно накрыть равнобедренным треугольником площади менее  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65377/problem_65377_img_2.png">.

Пусть <i>K</i> – точка на стороне <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i>, <i>KN</i> – биссектриса треугольника <i>AKC</i>. Прямые <i>BN</i> и <i>AK</i> пересекаются в точке <i>F</i>, а прямые <i>CF</i> и <i>AB</i> – в точке <i>D</i>. Докажите, что <i>KD</i> – биссектриса треугольника <i>AKB</i>.

В остроугольном неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> высоты <i>AA'</i> и <i>BB'</i> пересекаются в точке <i>H</i>, а медианы треугольника <i>AHB</i> пересекаются в точке <i>M</i>. Прямая <i>CM</i> делит отрезок <i>A'B'</i> пополам. Найдите угол <i>C</i>.

Диагонали выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> перпендикулярны. Точки <i>A', B', C', D'</i> – центры описанных окружностей треугольников <i>ABD, BCA, CDB, DAC</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>AA', BB', CC', DD'</i> пересекаются в одной точке.

В неравнобедренном прямоугольном треугольнике <i>ABC</i> точка <i>M</i> – середина гипотенузы <i>AC</i>, точки <i>H_a, H_c</i> – ортоцентры треугольников <i>ABM, CBM</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>AH_c, CH_a</i> пересекаются на средней линии треугольника <i>ABC</i>.

Дан фиксированный треугольник <i>ABC</i>. По его описанной окружности движется точка <i>P</i> так, что хорды <i>BC</i> и <i>AP</i> пересекаются. Прямая <i>AP</i> разрезает треугольник <i>BPC</i> на два меньших, центры вписанных окружностей которых обозначим через <i>I</i>₁ и <i>I</i>₂ соответственно. Прямая <i>I</i>₁<i>I</i>₂ пересекает прямую <i>BC</i> в точке <i>Z</i>. Докажите, что все прямые <i>ZP</i> проходят через фиксированную точку.

На плоскости нарисованы 100 кругов, каждые два из которых имеют общую точку (возможно, граничную).

Докажите, что найдётся точка, принадлежащая не менее чем 15 кругам.

Пусть <i>C</i> – одна из точек пересечения окружностей α и β. Касательная в этой точке к α пересекает β в точке <i>B</i>, а касательная в <i>C</i> к β пересекает α в точке <i>A</i>, причём <i>A</i> и <i>B</i> отличны от <i>C</i>, и угол <i>ACB</i> тупой. Прямая <i>AB</i> вторично пересекает α и β в точках <i>N</i> и <i>M</i> соответственно. Докажите, что  2<i>MN < AB</i>.

Дан выпуклый четырёхугольник. Постройте циркулем и линейкой точку, проекции которой на прямые, содержащие его стороны, являются вершинами параллелограмма.

На сторонах <i>AB</i>, <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> взяли такие точки <i>C</i>₁, <i>B</i>₁ соответственно, что  <i>BB</i>₁ ⊥ <i>CC</i>₁.  Точка <i>X</i> внутри треугольника такова, что

∠<i>XBC</i> = ∠<i>B</i>₁<i>BA</i>,  ∠<i>XCB</i> = ∠<i>C</i>₁<i>CA</i>.  Докажите, что  ∠<i>B</i>₁<i>XC</i>₁ = 90° – ∠<i>A</i>.

На стороне <i>AB</i> четырёхугольника <i>ABCD</i> нашлась такая точка <i>M</i>, что четырёхугольники <i>AMCD</i> и <i>BMDC</i> описаны около окружностей с центрами <i>O</i>₁ и <i>O</i>₂ соответственно. Прямая <i>O</i>₁<i>O</i>₂ отсекает от угла <i>CMD</i> равнобедренный треугольник с вершиной <i>M</i>. Докажите, что четырёхугольник <i>ABCD</i> вписанный.

Через вершины <i>B</i> и <i>C</i> треугольника <i>ABC</i> провели перпендикулярно прямой <i>BC</i> прямые <i>b</i> и <i>c</i> соответственно. Серединные перпендикуляры к сторонам <i>AC</i> и <i>AB</i> пересекают прямые <i>b</i> и <i>c</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Докажите, что прямая <i>PQ</i> перпендикулярна медиане <i>AM</i> треугольника <i>ABC</i>.