Задача
В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC высоты AA' и BB' пересекаются в точке H, а медианы треугольника AHB пересекаются в точке M. Прямая CM делит отрезок A'B' пополам. Найдите угол C.
Решение
Пусть C0 – середина AB, а H' – точка, симметричная H относительно C0 (как известно, H' – точка описанной окружности треугольника ABC, диаметрально противоположная C). Медианы CC0 и CM подобных треугольников ABC и A'B'C симметричны относительно биссектрисы угла C. Также симметричны относительно этой биссектрисы высота CH и диаметр описанной окружности CH'. Следовательно, ∠H'CC0 = ∠MCH, а значит, CM – симедиана треугольника CHH' (см. рис.). Отсюда (CH'/CH)² = H'M/MH = 2 (см. задачу 156978), а поскольку CH = CH' cos∠C, то ∠C = 45°.
Ответ
45°.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь