Задача
В неравнобедренном прямоугольном треугольнике ABC точка M – середина гипотенузы AC, точки Ha, Hc – ортоцентры треугольников ABM, CBM соответственно. Докажите, что прямые AHc, CHa пересекаются на средней линии треугольника ABC.
Решение
Пусть A' и C' – середины сторон AB и BC соответственно. Так как треугольники AMB и CBM равнобедренные, их высоты, опущенные из точки M, проходят через A' и C' соответственно. Следовательно, AA' || HcC', AHa || HcC и A'Ha || C'C. Итак, соответственные стороны треугольников AA'Ha и HcC'C параллельны, то есть эти треугольники гомотетичны. Значит, прямые AHc, HaC и A'C' пересекаются в центре соответствующей гомотетии, и он лежит на средней линии A'C' (см. рис.).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь