Олимпиадные задачи из «X Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2014 г.)», сложность 3-4

Задача 164887 • Сложность: 3 • 11 класс

Дана описанная четырёхугольная пирамида ABCDS. Противоположные стороны основания пересекаются в точках P и Q, причём точки A и B лежат на отрезках PD и PC. Вписанная сфера касается боковых граней ABS и BCS в точках K и L. Докажите, что если прямые PK и QL пересекаются, то точка касания сферы и основания лежит на отрезке BD.

Задача 164886 • Сложность: 3 • 11 класс

Дана тригармоническая четвёрка точек A, B, C и D (то есть AB·CD = AC·BD = AD·BC). Пусть A1 – такая отличная от A точка, что четвёрка точек A1, B, C и D тригармоническая. Точки B1, C1 и D1 определяются аналогично. Докажите, что

a) A, B, C1, D1 лежат на одной окружности;

б) точки A1, B1, C...

Акопян А. В. Планиметрия Стереометрия Проективная геометрия

Задача 164884 • Сложность: 4 • 10-11 класс

В четырёхугольнике ABCD вписанная окружность ω касается сторон BC и DA в точках E и F соответственно. Оказалось, что прямые AB, FE и CD пересекаются в одной точке S. Описанные окружности Ω и Ω1 треугольников AED и BFC, вторично пересекают окружность ω в точках E1 и F1. Докажите, что прямые EF и E1F1 параллельны.

Скробот Д. Полянский Н. Планиметрия

Задача 164883 • Сложность: 4 • 10-11 класс

Дан четырёхугольник KLMN. Окружность с центром O пересекает его сторону KL в точках A и A1, сторону LM в точках B и B1, и т.д. Докажите что

а) если описанные окружности треугольников KDA, LAB, MBC и NCD пересекаются в одной точке P, то описанные окружности треугольников KD1A1, LA1B1, MB1C1</sub&g...

Белухов Н. Планиметрия

Задача 164882 • Сложность: 3 • 10-11 класс

Окружности ω1 и ω2 касаются друг друга внешним образом в точке P. Из точки A окружности ω2, не лежащей на линии центров окружностей, проведены касательные AB, AC к ω1. Прямые BP, CP вторично пересекают ω2 в точках E и F. Докажите, что прямая EF, касательная к ω2 в точке A, и общая касательная к окружностям в точке P пересекаются в одной точке.

Ясинский В. Планиметрия Проективная геометрия

Задача 164881 • Сложность: 4 • 10-11 класс

Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I. Касательные к описанной окружности треугольника AIC в точках A, C пересекаются в точке X. Касательные к описанной окружности треугольника BID в точках B, D пересекаются в точке Y. Докажите, что точки X, I, Y лежат на одной прямой.

Заславский А. А. Планиметрия

Задача 164880 • Сложность: 3 • 10-11 класс

Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой AC, проведена биссектриса треугольника BD; отмечены середины E и F дуг BD окружностей, описанных около треугольников ADB и CDB соответственно (сами окружности не проведены). Постройте одной линейкой центры окружностей.

Москвитин Н. А. Планиметрия

Задача 164879 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Из некоторой точки D в плоскости треугольника ABC провели прямые, перпендикулярные к отрезкам DA, DB, DC, которые пересекают прямые BC, AC, AB в точках A1, B1, C1 соответственно. Докажите, что середины отрезков AA1, BB1, CC1 лежат на одной прямой.

Прокопенко Д. Планиметрия

Задача 164878 • Сложность: 3 • 9-11 класс

В неравнобедренном треугольнике ABC высота из вершины A, биссектриса из вершины B и медиана из вершины C пересекаются в одной точке K.

а) Какая из сторон треугольника средняя по величине?

б) Какой из отрезков AK, BK, CK средний по величине?

Френкин Б. Р. Заславский А. А. Планиметрия

Задача 164877 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Постройте такое подмножество круга, площадью в половину площади круга, что его образ при симметрии относительно любого диаметра пересекается с ним по площади, равной четверти круга.

Фольклор Планиметрия Примеры и контрпримеры. Конструкции

Задача 164876 • Сложность: 3 • 9-11 класс

На окружности ω c центром O фиксированы точки A и C. Точка B движется по дуге AC. Точка P – фиксированная точка хорды AC. Прямая, проходящая через P параллельно AO, пересекает прямую BA в точке A1; прямая, проходящая через P параллельно CO, пересекает прямую BC в точке C1. Докажите, что центр описанной окружности треугольника A1BC1 движется по прямой.

Прокопенко Д. Швецов Д. В. Планиметрия

Задача 164874 • Сложность: 3 • 8-10 класс

Точки K, L, M и N на сторонах AB, BC, CD и DA квадрата ABCD образуют еще один квадрат. DK пересекает NM в точке E, а KC пересекает LM в точке F.

Докажите, что EF || AB.

Плотников М. Планиметрия

Задача 164873 • Сложность: 3 • 8-10 класс

В угол вписаны непересекающиеся окружности ω1 и ω2. Рассмотрим все такие пары параллельных прямых l1 и l2, что l1 касается ω1, l2 касается ω2 (ω1, ω2 находятся между l1 и l2). Докажите, что средние линии всех трапеций, образованных прямыми l1, l2 и сторонами данного угла, касаются фиксированной окружности.

Кунгожин М. Планиметрия

Задача 164872 • Сложность: 3 • 8-10 класс

Окружности ω1 и ω2, касающиеся внешним образом в точке L, вписаны в угол BAC. Окружность ω1 касается луча AB в точке E, а окружность ω2 – луча AC в точке M. Прямая EL пересекает повторно окружность ω2 в точке Q. Докажите, что MQ || AL.

Швецов Д. В. Планиметрия

Задача 164871 • Сложность: 3 • 8-10 класс

Дан прямоугольник ABCD. Через точку B провели две перпендикулярные прямые. Первая прямая пересекает сторону AD в точке K, а вторая продолжение стороны CD в точке L. Пусть F – точка пересечения KL и AC. Докажите, что BF ⊥ KL.

Садыков Р. Планиметрия

Задача 164870 • Сложность: 3 • 8-10 класс

Перпендикуляр, восстановленный в вершинеCпараллелограммаABCDк прямойCD, пересекает в точкеFперпендикуляр, опущенный из вершиныAна диагональBD, а перпендикуляр, восстановленный из точкиBк прямойAB, пересекает в точкеEсерединный перпендикуляр к отрезкуAC. В каком отношении отрезокEFделится сторонойBC?

Румянцев В. Планиметрия

Задача 164867 • Сложность: 3 • 8-10 класс

В треугольник вписан квадрат (две вершины на одной стороне и по одной на остальных). Докажите, что центр вписанной окружности треугольника лежит внутри квадрата.

Френкин Б. Р. Планиметрия

Задача 164863 • Сложность: 3 • 10-11 класс

Верно ли, что существуют выпуклые многогранники с любым количеством диагоналей? (Диагональю называется отрезок, соединяющий две вершины многогранника и не лежащий на его поверхности.)

Блинков А. Д. Стереометрия Комбинаторная геометрия Примеры и контрпримеры. Конструкции

Задача 164862 • Сложность: 4 • 10-11 класс

Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Внутри треугольника BCD взяли точку La, расстояния от которой до сторон треугольника пропорциональны этим сторонам. Аналогично внутри треугольников ACD, ABD, ABC взяли точки Lb, Lc и Ld соответственно. Оказалось, что четырёхугольник LaLbLcLd вписанный. Докажите, что у ABCD есть две параллельные стороны.

Белухов Н. Планиметрия Проективная геометрия

Задача 164861 • Сложность: 3 • 10-11 класс

Докажите, что для любого тетраэдра его самый маленький двугранный угол (из шести) не больше чем двугранный угол правильного тетраэдра.

Шлосман С. Огиевецкий О. Стереометрия Принцип Дирихле

Задача 164860 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Вписанная окружность разностороннего треугольника ABC касается стороны AB в точке C'. Окружность с диаметром BC' пересекает вписанную окружность вторично в точке A1, а биссектрису угла B вторично в точке A2. Окружность с диаметром AC' пересекает вписанную окружность вторично в точке B1, а биссектрису угла A вторично в точке B2. Докажите, что прямые AB, A1B1, A2</su...

Garsia E. H. Планиметрия

Задача 164858 • Сложность: 4 • 9-11 класс

Дан фиксированный треугольник ABC. Пусть D – произвольная точка в плоскости треугольника, не совпадающая с его вершинами. Окружность с центром в D, проходящая через A, пересекает вторично прямые AB и AC в точках Ab и Ac соответственно. Аналогично определяются точки Ba, Bc, Ca и Cb. Точку D назовём хорошей, если точки Ab, Ac, Ba, Bc...

Соколов А. Гаркавый А. Планиметрия

Задача 164813 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Даны окружность, её хорда AB и середина W меньшей дуги AB. На большей дуге AB выбирается произвольная точка C. Касательная к окружности, проведённая из точки C, пересекает касательные, проведённые из точек A и B, в точках X и Y соответственно. Прямые WX и WY пересекают прямую AB в точках N и M соответственно. Докажите, что длина отрезка NM не зависит от выбора точки C.

Скробот Д. Зерцалов А. Планиметрия

Задача 164811 • Сложность: 4 • 9-10 класс

Выпуклый фанерный многоугольник P лежит на деревянном столе. В стол можно вбивать гвозди, которые не должны проходить через P, но могут касаться его границы. Фиксирующим называется набор гвоздей, не позволяющий двигать P по столу. Найдите минимальное количество гвоздей, позволяющее зафиксировать любой выпуклый многоугольник.

Белухов Н. Герджиков С. Планиметрия Принцип крайнего Примеры и контрпримеры. Конструкции

Задача 164810 • Сложность: 3 • 9-10 класс

Девять окружностей расположены вокруг произвольного треугольника так, как показано на рисунке. Окружности, касающиеся одной и той же стороны треугольника, равны между собой. Докажите, что три прямые на рисунке пересекаются в одной точке. (Прямые проходят через вершины треугольника и центры соответствующих окружностей.) <div align="center"><img src="/storage/problem-media/64810/problem_64810_img_2.png"></div>

Белухов Н. Планиметрия

Олимпиадные задачи из источника «X Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2014 г.)» - сложность 3-4 с решениями

Категории

X Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2014 г.)

Фильтры

Фильтры

Олимпиадные задачи из источника «X Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2014 г.)» - сложность 3-4 с решениями

Категории

X Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2014 г.)

Фильтры

Фильтры

Подтверждение удаления