Олимпиадные задачи из источника «VI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2010 г.)» - сложность 3-5 с решениями
VI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2010 г.)
НазадСреди вершин двух неравных икосаэдров можно выбрать шесть, являющихся вершинами правильного октаэдра.
Найдите отношение рёбер икосаэдров.
Дана прямая <i>l</i> в пространстве и точка <i>A</i>, не лежащая на ней. Для каждой прямой <i>l'</i>, проходящей через <i>A</i>, построим общий перпендикуляр <i>XY</i> (<i>Y</i> лежит на <i>l'</i>) к прямым <i>l</i> и <i>l'</i>. Найдите ГМТ точек <i>Y</i>.
Шестиугольник <i>ABCDEF</i> вписан в окружность. Известно, что <i>AB·CF</i> = 2<i>BC·FA</i>, <i>CD·EB</i> = 2<i>DE·BC</i>, <i>EF·AD</i> = 2<i>FA·DE</i>.
Докажите, что прямые <i>AD, BE</i> и <i>CF</i> пересекаются в одной точке.
Окружность с центром <i>F</i> и парабола с фокусом <i>F</i> пересекаются в двух точках.
Докажите, что на окружности найдутся такие четыре точки <i>A, B, C, D</i>, что прямые <i>AB, BC, CD</i> и <i>DA</i> касаются параболы.
Вписанная окружность остроугольного треугольника <i>ABC</i> касается его сторон <i>AB, BC, CA</i> в точках <i>C</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> соответственно. Пусть <i>A</i><sub>2</sub>, <i>B</i><sub>2</sub> – середины отрезков <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> соответственно, <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC, P</i> – одна из точек пересечения прямой <i>CO</i> с вписанной окружностью. Прямые <i>PA</i><s...
Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность с центром <i>O</i>. Точки <i>C'</i> и <i>D'</i> диаметрально противоположны точкам <i>C</i> и <i>D</i> соответственно. Касательные к окружности в точках <i>C'</i> и <i>D'</i> пересекают прямую <i>AB</i> в точках <i>E</i> и <i>F</i> (<i>A</i> лежит между <i>E</i> и <i>B, B</i> – между <i>A</i> и <i>F</i>). Прямая <i>EO</i> пересекает стороны <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i>, а прямая <i>FO</i> пересекает стороны <i>AD</i> и <i>BD...
На хорде <i>AC</i> окружности ω выбрали точку <i>B</i>. На отрезках <i>AB</i> и <i>BC</i> как на диаметрах построили окружности ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub> с центрами <i>O</i><sub>1</sub> и <i>O</i><sub>2</sub>, которые пересекают ω второй раз в точках <i>D</i> и <i>E</i> соответственно. Лучи <i>O</i><sub>1</sub><i>D</i> и <i>O</i><sub>2</sub><i>E</i> пересекаются в точке <i>F</i>. Лучи <i>AD</i> и <i>CE</i> пересекаются в точке <i>G</i>.
Докажите, что прямая <i>FG</i> проходит через середину <i>AC</i>....
Постройте треугольник по высоте и биссектрисе, проведённым из одной вершины, и медиане, проведённой из другой вершины.
В угол с вершиной <i>A</i> вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках <i>B</i> и <i>C</i>. Прямая, проходящая через <i>A</i>, пересекает окружность в точках <i>D</i> и <i>E</i>. Хорда <i>BX</i> параллельна прямой <i>DE</i>. Докажите, что отрезок <i>XC</i> проходит через середину отрезка <i>DE</i>.
На стороне <i>AD</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> нашлась такая точка <i>M</i>, что <i>CM</i> и <i>BM</i> параллельны <i>AB</i> и <i>CD</i> соответственно.
Докажите, что <i>S<sub>ABCD</sub></i> ≥ 3<i>S<sub>BCM</sub></i>.
В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD AB = BC</i>. На диагонали <i>BD</i> выбрана такая точка <i>K</i>, что ∠<i>AKB</i> + ∠<i>BKC</i> = ∠<i>A</i> + ∠<i>C</i>.
Докажите, что <i>AK·CD = KC·AD</i>.
Дан треугольник <i>ABC</i>. С помощью двусторонней линейки, проведя не более восьми линий, постройте на стороне <i>AB</i> такую точку <i>D</i>, что
<i>AD</i> : <i>BD = BC</i> : <i>AC</i>.
Назовём точку внутри треугольника <i>хорошей</i>, если три проходящие через неё чевианы равны. В треугольнике <i>ABC</i> стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> равны, а количество хороших точек нечётно. Чему оно может быть равно?
В треугольнике <i>ABC</i> проведена высота <i>AH</i>. Точки <i>I<sub>b</sub></i> и <i>I<sub>c</sub></i> – центры вписанных окружностей треугольников <i>ABH</i> и <i>CAH</i>; <i>L</i> – точка касания вписанной окружности треугольника <i>ABC</i> со стороной <i>BC</i>. Найдите угол <i>LI<sub>b</sub>I<sub>c</sub></i>.
Через вершину <i>B</i> треугольника <i>ABC</i> проведена прямая, перпендикулярная медиане <i>BM</i>. Эта прямая пересекает высоты, выходящие из вершин <i>A</i> и <i>C</i> (или их продолжения), в точках <i>K</i> и <i>N</i>. Точки <i>O</i><sub>1</sub> и <i>O</i><sub>2</sub> – центры описанных окружностей треугольников <i>ABK</i> и <i>CBN</i> соответственно. Докажите, что <i>O</i><sub>1</sub><i>M = O</i><sub>2</sub><i>M</i>.
На стороне <i>BC</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i> взяты такие точки <i>M</i> и <i>N</i> (<i>M</i> лежит между <i>B</i> и <i>N</i>) , что ∠<i>MAN</i> = 30°. Описанные окружности треугольников <i>AMC</i> и <i>ANB</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Докажите, что прямая <i>AK</i> содержит центр описанной окружности треугольника <i>AMN</i>.
Вокруг треугольника <i>ABC</i> описали окружность <i>k</i>. На сторонах треугольника отметили три точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub>, после чего сам треугольник стёрли. Докажите, что его можно однозначно восстановить тогда и только тогда, когда прямые <i>AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub> пересекаются в одной точке.
Каждый из двух правильных многогранников <i>P</i> и <i>Q</i> разрезали плоскостью на две части. Одну из частей <i>P</i> и одну из частей <i>Q</i> приложили друг к другу по плоскости разреза. Может ли получиться правильный многогранник, не равный ни одному из исходных, и если да, то сколько у него может быть граней?
Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается его сторон в точках <i>A', B'</i> и <i>C'</i>. Известно, что ортоцентры треугольников <i>ABC</i> и <i>A'B'C'</i> совпадают. Верно ли, что треугольник <i>ABC</i> – правильный?
Проекции двух точек на стороны четырёхугольника лежат на двух различных концентрических окружностях (проекции каждой точки образуют вписанный четырёхугольник, а радиусы соответствующих окружностей различны). Докажите, что четырёхугольник – параллелограмм.
Два выпуклых многоугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A<sub>n</sub></i> и <i>B</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub>...<i>B<sub>n</sub></i> (<i>n</i> ≥ 4) таковы, что каждая сторона первого больше соответствующей стороны второго.
Может ли оказаться, что каждая диагональ второго больше соответствующей диагонали первого?
Пусть <i>O, I</i> – центры описанной и вписанной окружностей прямоугольного треугольника; <i>R, r</i> – радиусы этих окружностей; <i>J</i> – точка, симметричная вершине прямого угла относительно <i>I</i>. Найдите <i>OJ</i>.
На доске нарисован правильный многоугольник. Володя хочет отметить <i>k</i> точек на его периметре так, чтобы не существовало другого правильного многоугольника (не обязательно с тем же числом сторон), также содержащего отмеченные точки на своем периметре.
Найдите наименьшее <i>k</i>, достаточное для любого исходного многоугольника.
В треугольнике <i>ABC AL<sub>a</sub></i> и <i>AM<sub>a</sub></i> – внутренняя и внешняя биссектрисы угла <i>A</i>. Пусть ω<i><sub>a</sub></i> – окружность, симметричная описанной окружности Ω<i><sub>a</sub></i> треугольника <i>AL<sub>a</sub>M<sub>a</sub></i> относительно середины <i>BC</i>. Окружность ω<i><sub>b</sub></i> определена аналогично. Докажите, что ω<i><sub>a</sub></i> и ω<i><sub>b</sub></i> касаются тогда и только тогда, когда треугольник <i>ABC</i> прямоугольный.
В треугольнике <i>ABC</i> отметили точки <i>A'</i>, <i>B'</i> касания сторон <i>BC, AC</i> c вписанной окружностью и точку <i>G</i> пересечения отрезков <i>AA'</i> и <i>BB'</i>. После этого сам треугольник стерли. Восстановите его с помощью циркуля и линейки.