Олимпиадные задачи из источника «2014 год» для 7-8 класса - сложность 1-5 с решениями

Если разделить 2014 на 105, то в частном получится 19 и в остатке тоже 19.

На какие ещё натуральные числа можно разделить 2014, чтобы частное и остаток совпали?

Из шахматной доски размером 8×8 вырезали квадрат размером 2×2 так, что оставшуюся доску удалось разрезать на прямоугольники размером 1×3. Определите, какой квадрат могли вырезать.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> – вписанный. На его диагоналях <i>AC</i> и <i>BD</i> отметили точки <i>K</i> и <i>L</i> соответственно так, что  <i>AK = AB</i>  и  <i>DL = DC</i>.

Докажите, что прямые <i>KL</i> и <i>AD</i> параллельны.

Дан треугольник <i>ABC</i>. Прямая, параллельная <i>AC</i>, пересекает стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>P</i> и <i>T</i> соответственно, а медиану <i>AM</i> – в точке <i>Q</i>. Известно, что  <i>PQ</i> = 3,  а  <i>QT</i> = 5.  Найдите длину <i>AC</i>.

Про коэффициенты <i>a, b, c</i> и <i>d</i> двух квадратных трёхчленов  <i>x</i>² + <i>bx + c</i>  и  <i>x</i>² + <i>ax + d</i>  известно, что 0 < <i> a < b < c < d</i>.

Могут ли эти трёхчлены иметь общий корень?

В круговом шахматном турнире участвовало шесть человек: два мальчика и четыре девочки. Могли ли мальчики по итогам турнира набрать в два раза больше очков, чем девочки? (В круговом шахматном турнире каждый игрок играет с каждым по одной партии. За победу дается 1 очко, за ничью – 0,5, за поражение – 0).

Гномы сели за круглый стол и голосованием решили много вопросов. По каждому вопросу можно было голосовать "за", "против" или воздержаться. Если оба соседа какого-либо гнома по какому-нибудь вопросу выбрали один и тот же вариант ответа, то при голосовании по следующему вопросу он выберет этот же вариант. А если они выбрали два разных варианта, то при голосовании по следующему вопросу гном выберет третий вариант. Известно, что по вопросу "Блестит ли золото?" все гномы проголосовали "за", а по вопросу "Страшен ли Дракон?" Торин воздержался. Сколько могло быть гномов?

В треугольнике <i>АВС</i> угол <i>В</i> равен 120°,  <i>АВ</i> = 2<i>ВС</i>.  Серединный перпендикуляр к стороне <i>АВ</i> пересекает <i>АС</i> в точке <i>D</i>. Найдите отношение  <i>AD</i> : <i>DC</i>.

Три пирата вечером поделили добытые за день бриллианты: по двенадцать Биллу и Сэму, а остальные – Джону, который считать не умел. Ночью Билл у Сэма, Сэм у Джона, а Джон у Билла украли по одному бриллианту. В результате средняя масса бриллиантов у Билла уменьшилась на один карат, у Сэма уменьшилась на два карата, зато у Джона увеличилась на четыре карата. Сколько бриллиантов досталось Джону?

Вершину <i>A</i> параллелограмма <i>ABCD</i> соединили отрезками с серединами сторон <i>BC</i> и <i>CD</i>. Один из этих отрезков оказался вдвое длиннее другого. Определите, каким является угол <i>ВАD</i>: острым, прямым или тупым.

Из клетчатой бумаги вырезана прямоугольная рамка (см. рисунок). Её разрезали по границам клеток на девять частей и сложили из них квадрат 6×6. Могли ли все части, полученные при разрезании, оказаться различными? (При складывании квадрата части можно переворачивать.)<div align="center"><img src="/storage/problem-media/64943/problem_64943_img_2.gif"></div>

Графики трёх функций  <i>y = ax + a,  y = bx + b</i>  и  <i>y = cx + d</i>  имеют общую точку, причём  <i>a ≠ b</i>.  Обязательно ли  <i>c = d</i>?

Можно ли в кружках (см. рисунок) разместить различные натуральные числа таким образом, чтобы суммы трёх чисел вдоль каждого отрезка оказались равными?<div align="center"><img src="/storage/problem-media/64941/problem_64941_img_2.gif"></div>

Биолог последовательно рассаживал 150 жуков в десять банок. Причём в каждую следующую банку он сажал жуков больше, чем в предыдущую. Количество жуков в первой банке составляет не менее половины от количества жуков в десятой банке. Сколько жуков в шестой банке?

У юного художника была одна банка синей и одна банка жёлтой краски, каждой из которых хватает на покраску 38 дм² площади. Использовав всю эту краску, он нарисовал картину: синее небо, зелёную траву и жёлтое солнце. Зелёный цвет он получал, смешивая две части жёлтой краски и одну часть синей. Какая площадь на его картине закрашена каждым цветом, если площадь травы на картине на 6 дм² больше, чем площадь неба?

Соедините точки <i>А</i> и <i>В</i> (см. рисунок) ломаной из четырёх отрезков одинаковой длины так, чтобы выполнялись следующие условия:

  1) концами отрезков могут быть только какие-то из отмеченных точек;

  2) внутри отрезков не должно быть отмеченных точек;

  3) соседние отрезки не должны лежать на одной прямой. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/64938/problem_64938_img_2.gif"></div>

В тридевятом царстве есть только два вида монет: 16 и 27 тугриков. Можно ли заплатить за одну тетрадку ценой в 1 тугрик и получить сдачу?