Олимпиадные задачи из источника «2013/14» для 11 класса - сложность 2 с решениями
Петя записал на компьютере число 1. Каждую секунду компьютер прибавляет к числу на экране сумму его цифр.
Может ли через какое-то время на экране появиться число 123456789?
Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, у которого сумма тупых углов равна 3000°?
Вокруг равнобедренного треугольника <i>ABC</i> (<i>AB = AC</i>) описана окружность. Касательная к ней в точке <i>В</i> пересекает луч <i>АС</i> в точке <i>D, Е</i> – середина стороны <i>АВ, Н</i> – основание перпендикуляра, опущенного из точки <i>D</i> на прямую <i>АВ</i>. Найдите длину <i>ЕН</i>, если <i>AD = a</i>.
Решите систему уравнений: <img align="middle" src="/storage/problem-media/64674/problem_64674_img_2.gif">.
Произведение четырёх последовательных положительных нечётных чисел оканчивается на 9. Найдите две предпоследние цифры этого произведения.
В каком отношении делит площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, биссектриса её острого угла?
Число <i>a</i> – корень уравнения <i>х</i><sup>11</sup> + <i>х</i><sup>7</sup> + <i>х</i><sup>3</sup> = 1. При каких натуральных значениях <i>n</i> выполняется равенство <i>a</i><sup>4</sup> + <i>a</i><sup>3</sup> = <i>a<sup>n</sup></i> + 1?
В турнире по игре в "крестики – нолики", проведённом по системе "проиграл – выбыл", участвовали 18 школьников. Каждый день играли одну партию, участников которой выбирали жребием из ещё не выбывших школьников. Каждый из шестерых школьников утверждает, что сыграл ровно четыре партии. Не ошибается ли кто-то из них?
Дана таблица размером 8×8, изображающая шахматную доску. За каждый шаг разрешается поменять местами любые два столбца или любые две строки. Можно ли за несколько шагов сделать так, чтобы верхняя половина таблицы стала белой, а нижняя половина – чёрной?
Даны две пересекающиеся плоскости, в одной из которых лежит произвольный треугольник площади <i>S</i>.
Существует ли его параллельная проекция на вторую плоскость, имеющая ту же площадь <i>S</i>?
Среднее арифметическое десяти различных натуральных чисел равно 15. Найдите наибольшее значение наибольшего из этих чисел.
Найдите все трёхзначные числа, квадраты которых оканчиваются на 1001.
Верно ли, что в любом треугольнике точка пересечения медиан лежит внутри треугольника, образованного основаниями биссектрис?
На координатной плоскости изображен график функции <i>y = ax</i>² + <i>bx + c</i> (см. рисунок).
На этой же координатной плоскости схематически изобразите график функции <i>y = cx</i>² + 2<i>bx + a</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/64491/problem_64491_img_2.gif"></div>
Числа <i>x, y, z</i> и <i>t</i> лежат в интервале (0, 1). Докажите неравенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64488/problem_64488_img_2.gif"> < 4.
Дан четырёхугольник <i>АВСD</i> площади 1. Из его внутренней точки <i>О</i> опущены перпендикуляры <i>OK, OL, OM</i> и <i>ON</i> на стороны <i>АВ, ВС, CD</i> и <i>DA</i> соответственно. Известно, что <i>AK ≥ KB, BL ≥ LC, CM ≥ MD</i> и <i>DN ≥ NA</i>. Найдите площадь четырёхугольника <i>KLMN</i>.
Может ли объединение двух треугольников оказаться 13-угольником?
Существует ли такое значение α, что все члены бесконечной последовательности cos α, cos 2α, ..., cos(2<i><sup>n</sup>α</i>), ... принимают отрицательные значения?
При каких натуральных <i>n</i> число <i>n</i>² – 1 является степенью простого числа?
Окружность пересекает оси координат в точках <i>А</i>(<i>a</i>, 0), <i>B</i>(<i>b</i>, 0) <i>C</i>(0, <i>c</i>) и <i>D</i>(0, <i>d</i>). Найдите координаты её центра.
Для каких значений <i>x</i> выполняется неравенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64479/problem_64479_img_2.gif">
В классе 33 ученика, всем вместе 430 лет.
Докажите, что если выбрать 20 самых старших из них, то им вместе будет не меньше, чем 260 лет. (Возраст любого ученика – целое число.)
На сторонах <i>AB</i> и <i>CD</i> прямоугольника <i>ABCD</i> отметили точки <i>E</i> и <i>F</i>, так что <i>AFCE</i> – ромб. Известно, что <i>АВ</i> = 16, <i>ВС</i> = 12. Найдите <i>EF</i>.
Верно ли, что 2<sup>62</sup> + 1 делится на 2<sup>31</sup> + 2<sup>16 </sup>+ 1?
На экране компьютера – число 141. Каждую секунду компьютер перемножает все цифры числа на экране, полученное произведение либо прибавляет к этому числу, либо вычитает из него, а результат появляется на экране вместо исходного числа. Появится ли еще когда-нибудь на экране число 141?