Пусть, например,  α = ^2π/₃,  тогда  cos α = cos ^2π/₃ = – ½. Далее можно рассуждать по-разному.  Первый способ. Докажем по индукции, что все члены последовательности равны – ½. База уже есть.

 Шаг индукции. Пусть  cos(2^kα) = – ½,  тогда  cos(2^k+1α) = cos(2·2^kα) = 2cos²(2^kα) – 1 = 2(– ½)² – 1 = – ½.   Второй способ. Заметим, что  cos 2α = cos ^4π/₃ = cos (– ^2π/₃) = – ½.  Докажем, что если n – чётно, то  2ⁿα = ^2π/₃ + 2πm,  а если нечётно, то

2ⁿα = – ^2π/₃ + 2πm,  где m – некоторое целое число.

  Действительно,  2^2k·^2π/₃ = ^2π/₃ + 2πm  ⇔  4^k – 1  кратно 3. Но это действительно так.

  Аналогично,  2^2k–1·^2π/₃ = – ^2π/₃+ 2πm  ⇔  2^2k–1 + 1  кратно 3, что тоже верно.

Существует.